Constante omniprésente en mathématiques (comme l’est la fonction exponentielle), on sait qu’elle est irrationnelle grâce à Leonhard Euler depuis 1739 et même transcendante grâce à Charles Hermite depuis 1873.

Pour célébrer $\mathrm{e}$, voici quelques formules où ce nombre intervient. Pour commencer, une expression élégante d’où l’on peut déduire l’irrationalité :
\[\mathrm{e}=2+\frac1{1+\frac1{2+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{4+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{6+\ldots}}}}}}}}.\]
Remarquer la progression dans la fraction : un $2$, puis deux $1$, puis un $4$, puis deux $1$, puis un $6$, puis deux $1$, etc. On note en général :
\[\mathrm{e}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\dots].\]

On peut également la relier à la star $\pi$. Voici une formule attribuée à Euler, que certains sondages présentent comme la plus belle de toutes :
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1\,;\]
C’est qu’elle est consensuelle, assez élémentaire sans être triviale, et elle relie $\pi$, que l’on voit partout mais que l’on ne sait pas calculer ; $-1$, un nombre qui a longtemps défié l’imagination de l’humanité ; $\mathrm{i}$, un nombre inconcevable ; et enfin $\mathrm{e}$, bien connu dans certains cercles mais plus discret que les précédents.

Citons également cette formule approximative remarquable :
\[\mathrm{e}^{\pi\sqrt{163}}\simeq 640\,320^3+744-7,\!4\cdot10^{-13}.\]

Devinette : sachant que $\mathrm{e}$ et $\pi$ sont transcendants, saurez-vous montrer que $\mathrm{e}+\pi$ ou $\mathrm{e}\pi$ l’est ?

Pourquoi un titre anglophone, protesterez-vous ? C’est que le jour de $\mathrm{e}$ francophone sera célébré le 2 juillet 18, bien sûr ! Et n’oubliez pas : préparez-vous aussi pour le jour de $\varphi$ !