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Avancées récentes en théorie des nombres

Le 15 avril 2014

Deux problèmes séculaires de théorie des nombres viennent de connaître des avancées spectaculaires.La Gazette des mathématiciens leur consacre deux articles en ce mois d’avril 2014. Pour une présentation plus accessible de ces deux avancées, on pourra consulter cet article de Bruno Duchesne.

Rappelons cependant de quoi il est question.

Conjecture de Goldbach

Rappelons qu’un nombre premier est un entier $p$, disons positif, supérieur ou égal à $2$ et dont les seuls diviseurs sont $1$ et $p$. Les plus petits nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, etc. Christian Goldbach énonce en 1742 une conjecture devenue célèbre dans une lettre à Leonhard Euler :

Tout nombre pair peut s’écrire comme somme de deux nombres premiers.

Autrement dit, pour tout nombre pair $n$ (supérieur à $6$), on peut trouver deux nombres premiers $p_1$ et $p_2$ tel que $n=p_1+p_2$. Par exemple, on a : $6=3+3$, $8=5+3$, $10=5+5$, $12=7+5$, $14=7+7$, $16=13+3$, $18=13+5$, etc.

Cette conjecture admet une version faible, c’est-à-dire qu’elle entraîne la propriété suivante appelée conjecture ternaire de Goldbach :

Tout nombre impair est somme de trois nombres premiers.

Autrement dit, pour tout nombre impair $n$, on peut trouver trois nombres premiers $p_1$, $p_2$, $p_3$ tels que $n=p_1+p_2+p_3$. Il va de soi que si la conjecture initiale est vraie, alors la conjecture ternaire est vraie aussi : on choisit un nombre impair $n$, on choisit $p_3=3$, de sorte que $n-p_3$ est un nombre pair ; d’après la conjecture initiale on peut trouver $p_1$ et $p_2$ tels que $n-p_3=p_1+p_2$. C’est gagné.

Harald Helfgott, chercheur au CNRS attaché à l’École normale supérieure, a annoncé il y a quelques mois une preuve de la conjecture ternaire de Goldbach. Ce travail mélange des estimations analytiques plus fines que ce qui était connu, permettant de prouver la conjecture « à partir d’un certain rang » explicite et plus petit que ceux que l’on connaissait jusque là, et une recherche exhaustive sur ordinateur, non triviale des points de vue mathématique et informatique, pour prouver la conjecture jusqu’au rang à partir duquel la théorie générale l’assure.

Ce travail n’est pas publié, c’est-à-dire que le travail de vérification des experts n’est pas terminé, mais il est pris au sérieux par la communauté, de sorte que Harald Helfgott est invité au prestigieux Congrès international des mathématiciens qui se tiendra en août 2014 à Séoul. Son auteur a écrit cet article publié dans la Gazette.

Petits écarts entre nombres premiers

Une autre conjecture célèbre stipule qu’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, c’est-à-dire de couples de nombres premiers qui diffèrent de $2$, tels que $(3,5)$, $(5, 7)$, $(11, 13)$, $(17, 19)$, $(29, 31)$, $(41, 43)$, $(59, 61)$, $(71, 73)$, $(101, 103)$, $(107, 109)$, etc.

Une version faible de cette conjecture consiste à trouver la constante $C$ la plus petite possible de sorte qu’existent une infinité de couples de nombres premiers $(p,p')$ tels que la différence $p'-p$ est plus petite que $C$. (Pour les nombres premiers jumeaux, il faudrait réussir à montrer que $C=2$ convient.)

En avril 2013, Yitang Zhang a réalisé une percée impressionnant en prouvant que l’on pouvait prendre $C$ de l’ordre de 70 millions. C’était la première fois que quelqu’un donnait une valeur finie et, de plus, explicite pour $C$. Grâce à un étonnant travail collectif appelé Polymath8, enclenché à l’initiative de Terence Tao, la borne a été divisée par dix mille en quelques mois. Puis James Maynard, post-doctorant à Montréal, a réussi à perfectionner et à simplifier la méthode et a prouvé que l’on pouvait prendre $C=600$.

Cet article de Régis de la Bretèche propose un survol de ces résultats spectaculaires.

En savoir plus: la Gazette des mathématiciens

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