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Centenaire de la naissance de Reuben Louis Goodstein

Le 15 décembre 2012

Reuben Louis Goodstein est né le 15 décembre 1912 et mort le 8 mars 1985. Ce mathématicien et logicien britannique est surtout connu pour le théorème de Goodstein. Mais il s’intéressait aussi à la philosophie et à l’enseignement des mathématiques. Il fut éditeur de la Mathematical Gazette de 1956 à 1962 et conférencier invité au prestigieux Congrès international des mathématiciens (ICM) de 1962.

Le théorème de Goodstein (1944) est un énoncé d’arithmétique d’apparence anodine mais il pose des questions très intéressantes sur l’arithmétique et la logique.

Le théorème de Goodstein

À partir d’un entier $m$, on en construit un autre, puis un autre, tout une suite en fait, par un procédé qui consiste à jouer sur les écritures des entiers dans différentes bases et que l’on réitère. Les premières valeurs des suites ainsi définies semblent croître très vite : lorsque $m=19$, les trois premières valeurs sont $19$, $7625597484990$ et environ $1,3\times10^{154}$...

Le théorème de Goodstein affirme que malgré les apparences, toutes les suites vont finir par prendre la valeur $0$.

Alors que l’énoncé ne parle que d’entiers finis, la preuve la plus simple du théorème utilise des nombres infinis appelés nombres ordinaux. Elle n’est donc pas élémentaire, mais elle reste relativement accessible.

En fait, ce n’est pas un hasard qu’il soit nécessaire d’utiliser des notions plus difficiles pour la preuve que pour l’énoncé. En effet, Laurence Kirby et Jeff Paris ont prouvé en 1982 qu’il était impossible de démontrer le théorème de Goodstein en restant dans la théorie arithmétique élémentaire ; en termes techniques, le théorème de Goodstein est indémontrable dans l’arithmétique de Peano. En revanche, une théorie plus forte comme la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel permet de le prouver (mais il n’y a pas besoin d’une théorie si forte, qui permet de parler d’objets auxquels les constructivistes ne « croient » pas). C’est un résultat beaucoup plus difficile que celui de Goodstein.

Bien que l’existence de tels énoncés soit une conséquence du théorème d’incomplétude de Gödel, celui de Goodstein a le grand avantage d’être « naturel ». C’était même le premier exemple d’un énoncé indémontrable qui n’était pas fabriqué par un procédé ad hoc consistant, peu ou prou, à coder le paradoxe du menteur.

En savoir plus: une biographie de Goodstein (en anglais)

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