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Charles de la Vallée Poussin est mort il y a cinquante ans

Le 2 mars 2012

Le mathématicien belge Charles-Jean de la Vallée Poussin né le 14 août 1866 à Louvain, y est mort le 2 mars 1962. Il envisage d’abord de devenir prêtre jésuite et débute en 1883 des études de philosophie à l’Université Catholique de Louvain. Il s’en détourne cependant, obtient un diplôme d’ingénieur, puis un doctorat de mathématiques en 1890. En 1914, l’invasion allemande le chasse de Belgique : il enseigne à Harvard, au Collège de France, à la Sorbonne et à l’université de Genève jusqu’à son retour à Louvain en 1918 ; par la suite ses voyages restent nombreux, en particulier aux États-Unis où il donne des conférences dans de nombreuses universités. En 1920, il devient le premier président de l’Union mathématique internationale. En 1928, il est annobli par le roi des Belges à l’occasion du trente-cinquième anniversaire de sa tenue de la chaire de mathématiques à l’université de Louvain.

Son titre de noblesse mathématique est dû au théorème des nombres premiers, théorème remarquable prouvé en 1896, qui montre une forte régularité dans la répartition des nombres premiers et reste connecté à l’hypothèse de Riemann, un des 23 problèmes de Hilbert et un des 7 problèmes du prix du millénaire de l’institut Clay. Le mathématicien a d’autre part étudié l’approximation polynômiale des fonctions ; à partir de 1925, ses travaux portent sur la théorie du potentiel et les problèmes de représentation conforme.

Le théorème des nombres premiers

Rappelons qu’on nombre entier $p$ est dit premier si ses seuls diviseurs sont lui-même et $1$. Ainsi, si on peut écrire $p=ab$ avec $a$ et $b$ entiers, alors $a$ ou $b$ vaut $1$. Par exemple, $2$, $3$, $5$, $7$ et $11$ sont premiers mais $9$ ne l’est pas car $9=3\times3$. Combien y a-t-il de nombres premiers ? comment sont-ils répartis parmi les entiers ?

Leur histoire commence avec Euclide, à qui on attribue la première preuve de l’existence d’un nombre infini de nombres premiers. Mais ils semblent se raréfier : il y a $25$ nombres premiers inférieurs à $100$ (une proportion de $1$ sur $4$) mais $1229$ inférieurs à $1000$ (proportion : $1$ sur $8$ environ) et seulement $664579$ inférieurs à 10 millions (proportion : $1$ sur $15$). Le théorème des nombres premiers quantifie cela.

Conjecturé par un Gauss adolescent vers 1792 (selon ses dires ultérieurs) et par Legendre vers 1798, le théorème des nombres premiers a été démontré en 1896 par des méthodes analogues par Charles de la Vallée-Poussin et Jacques Hadamard.

Il affirme que le nombre $\pi(x)$ de nombres premiers inférieurs à un réel $x$ est bien approximé par $x/\ln(x)$. Plus précisément, le rapport $\pi(x)/(x/\ln(x))$ tend vers $1$ lorsque $x$ tend vers l’infini. En d’autres termes, plus flous, lorsque $x$ est grand, la proportion de nombres premiers inférieurs à $x$, c’est-à-dire $\pi(x)/x$, est proche de $1/\ln(x)$. Voici une table numérique illustrant le phénomène :

$x$ $10$ $100$ $1000$ $10000$ $100000$ $1000000$ $10^7$ $10^8$ $10^9$ $10^{10}$ $10^{11}$ $10^{12}$
$\pi(x)$ $4$ $25$ $168$ $1229$ $9592$ $78498$ $6.64\times10^5$ $5.76\times10^6$ $5.08\times10^7$ $4.55\times10^8$ $4.12\times10^9$ $3.76\times10^{10}$
$x/\ln(x)$ $4.3$ $21.7$ $144.7$ $1085.7$ $8685.9$ $72382.4$ $6.20\times10^5$ $5.42\times10^6$ $4.83\times10^7$ $4.34\times10^8$ $3.95\times10^9$ $3.62\times10^{10}$
$\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}$ $0.921$ $1.151$ $1.160$ $1.132$ $1.104$ $1.084$ $1.071$ $1.061$ $1.054$ $1.048$ $1.043$ $1.039$

Une façon équivalente d’exprimer le théorème est de dire que le $n^{\mathrm{e}}$ nombre premier est de l’ordre de grandeur de $n\ln(n)$.

Un aspect remarquable dans le théorème des nombres premiers, c’est que l’énoncé est de nature arithmétique mais la preuve de La Vallée-Poussin et Hadamard est analytique. Elle repose sur le fait que la fonction zêta de Riemann, qui est définie pour tout nombre complexe différent de $1$, ne s’annule pas en les nombres complexes dont la partie réelle vaut $1$. C’est une toute petite partie de l’hypothèse de Riemann, conjecture selon laquelle tous les zéros de la fonction zêta ont pour partie réelle $1/2$ (à part les entiers négatifs, que l’on contrôle bien). Les premières preuves dites « élémentaires », c’est-à-dire sans analyse complexe, n’ont été trouvées qu’en 1949, par Paul Erdös et Atle Selberg indépendamment. Si élémentaires qu’elles soient, elles sont plutôt plus compliquées, plus difficiles à comprendre que la preuve originale.

En fait, la bonne approximation de $\pi(x)$ n’est pas $x/\ln(x)$ mais la fonction logarithme intégral définie par : $\mathrm{Li}(x)=\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{\ln(t)}$. Via l’hypothèse de Riemann, le théorème des nombres premiers est connecté à des mathématiques très contemporaines. Le théorème exprime que la différence $\pi(x)-\mathrm{Li}(x)$ est négligeable devant $x/\ln(x)$. Peut-on estimer la différence plus précisément ? Helge von Koch a prouvé en 1901 que l’hypothèse de Riemann entraînait une majoration l’erreur par $O(\sqrt{x}\ln(x))$, qui est bien plus précis que $x/\ln(x)$. En rapport avec le théorème du jour, on trouve d’autres conséquences et d’autres formulations de l’hypothèse de Riemann sur cette page en anglais.


Le 3 mars 2012 est le centenaire de la naissance du mathématicien australien Andrew Guinand. Lui aussi, il a contribué à l’étude de la fonction zêta de Riemann. Ce n’est pas le plus célèbre des mathématiciens du vingtième siècle mais son nom a été récemment attaché à un objet de géométrie du triangle par A. Ryba and J. Stern, le bouclier de Guinand ou Guinand shield dans un article de la revue « American Mathematical Monthly » dont on trouvera le texte intégral ici.

Biographie de Charles de la Vallée-Poussin (en anglais)

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