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David Hilbert est né il y a 150 ans

Le 23 janvier 2012

Nous célébrons aujourd’hui l’anniversaire de naissance de David Hilbert. Considéré comme l’un des plus grands mathématicien du vingtième siècle, sa vision profonde et globale des mathématiques se manifeste notamment à travers la liste de 23 problèmes qu’il présente au deuxième congrès international des mathématiciens à Paris en 1900, passés à la postérité sous le nom de problèmes de Hilbert.

Hilbert est nommé en 1895 à la chaire de mathématiques de Göttingen. Il y restera jusqu’à sa mort en février 1943. Ses travaux portent en particulier sur l’algèbre générale (théorème des bases, Nullstellensatz), la géométrie (axiomatisation de la géométrie), la théorie des nombres, l’analyse fonctionnelle. C’est dans ce dernier domaine, pour l’étude des équations intégrales, qu’il introduit les espaces de Hilbert, qui deviennent ensuite objet de base du formalisme de la physique quantique.

Objets mathématiques associés au nom de Hilbert

La seule longueur de la liste témoigne du rôle de Hilbert dans les mathématiques, ce que confirme la diversité des thèmes dont les objets relèvent.

  • axiomes de Hilbert : ils complètent les axiomes d’Euclide pour soumettre la géométrie aux exigences de rigueur du XXe siècle ;
  • base de Hilbert dans un espace de Hilbert : ces nouveaux espaces, largement utilisés en analyse, sont ceux dans lequel s’exprime et se déroule la mécanique quantique ;
  • conjecture de Hilbert-Pólya : c’est une façon d’attaquer l’hypothèse de Riemann,
  • corps de classes de Hilbert : étape importante dans la construction de la théorie du corps de classes en théorie algébrique des nombres,
  • courbes de Peano-Hilbert : une famille de courbes qui remplit un carré entier, c’est-à-dire qui passe par chaque point du carré,
  • cube de Hilbert : un espace particulier en topologie,
  • espace projectif de Hilbert,
  • orme modulaire de Hilbert,
  • hôtel de Hilbert : si, dans un hôtel contenant une infinité de chambres qui sont toutes occupées, il arrive un client supplémentaire, le réceptionniste peut lui trouver de la place en demandant à chaque client de se déplacer d’une chambre : c’est une métaphore pour expliquer l’étrange arithmétique de l’infini, dans laquelle $\infty+1=\infty$ (logique) ;
  • inégalité de Hilbert : une inégalité élégante en analyse,
  • matrice de Hilbert : une famille de matrices mal conditionnées qui
  • problèmes de Hilbert : Hilbert a présenté ces 23 problèmes comme étant les plus importants des mathématiques, ils devaient orienter les recherches dans tout le XXe siècle ; presque tous ont connus des développements profondément fructueux, c’est-à-dire que la recherche de leur solution a donné lieu à des développements riches et inattendus ; cinq d’entre eux ne sont d’ailleurs toujours pas résolus ; le huitième, l’hypothèse de Riemann, est par exemple un des sept problèmes du millénaire de l’institut Clay ;
  • système à la Hilbert : en logique, des systèmes d’axiomes pour décrire les déductions formelles,
  • théorème 90 de Hilbert : « une propriété algébrique d’énoncé simple, et de grande portée, de par son interprétation homologique » (wikipedia), en théorie des nombres et, plus précisément, en théorie de Galois ;
  • théorème de la base de Hilbert : un théorème de finitude en algèbre fort utile pour la géométrie algébrique ;
  • théorème de Hilbert-Speiser : un théorème en théorie algébrique des nombres,
  • théorème des zéros de Hilbert : le célèbre Nullstellensatz fonde, en quelque sorte, la géométrie algébrique moderne, dans laquelle on attaque des problèmes géométriques à l’aide des méthode de l’algèbre pure (idéaux, etc.) ;
  • transformée de Hilbert : une transformation utile en théorie du signal.

Biographie de David Hilbert (en anglais)

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