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Emil Artin est mort il y a cinquante ans

Le 20 décembre 2012

Emil Artin, né le 3 mars 1898 à Vienne, est mort le 20 décembre 1962 à Hambourg. Mathématicien autrichien il fait carrière en Allemagne avant d’émigrer pour les États-Unis en 1937.

Ses contributions à l’algèbre moderne sont tout à fait remarquables : il donne sa forme moderne à la théorie de Galois, résout deux des problèmes de Hilbert, fonde la théorie des groupes de tresses. Il énonce deux conjectures qui font l’objet de recherches actuelles. De plus, il forme en thèse des étudiants qui sont devenus des mathématiciens de premier plan.

Témoins de la profondeur de son œuvre, un grand nombre d’objets mathématiques sont attachés à son nom.

Une conjecture d’Artin et les « multiplications magiques »

La conjecture d’Artin sur les fonctions L est trop compliquée pour cette note. Mais celle sur les racines primitives peut être présentée ainsi, même si cela n’explique rien de son intérêt en théorie des nombres.

Si $p$ est un nombre premier autre que $2$ et $5$, les chiffres du développement décimal de $1/p$ s’obtiennent en répétant indéfiniment un motif. Par exemple, on peut vérifier que $1/7=0,142857\;142857...$   ou que $1/13=0,769230\;769230...$

On peut s’intéresser à la longueur du motif : cela peut être $p-1$ (par exemple pour $p=7$ ou $p=17$), ou moins (par exemple pour $p=13$). Lorsque c’est $p-1$, on peut écrire des « multiplications magiques » en multipliant le motif par un entier entre $1$ et $p-1$ : le résultat s’obtient de tête en faisant une permutation cyclique des chiffres du motif. Par exemple, avec $p=7$ :

$1\times142857=142857$   $2\times142857=285714$   $3\times142857=428571$  
$4\times142857=571428$   $5\times142857=714285$   $6\times142857=857142$  

La conjecture d’Artin (version simplifiée) affirme que pour environ $37\%$ des nombres premiers, la longueur du motif du développement décimal de $1/p$ est $p-1$ (et donc les multiplications magiques vont marcher, ce qui n’était évidemment pas la raison pour laquelle Artin s’intéressait à la question !).

Pour le plaisir d’une formule compliquée, voici la valeur précise de la proportion conjecturée, appelée « constante d’Artin » :
\[\prod_{p\ \mathrm{premier}}\left(1-\frac{1}{p(p-1)}\right)=0,3739558136...\]

[Une part encore plus importante que d’habitude de cette note est reprise de Wikipedia.]

En savoir plus: une biographie d'Emil Artin (en anglais)

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