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Émile Lemoine est mort il y a cent ans

Le 21 février 2012

Né le 22 avril 1840 à Quimper, Émile Lemoine est mort il y a cent ans à Paris. Ingénieur et mathématicien, ancien étudiant et enseignant à l’École polytechnique, il reste connu pour avoir démontré l’existence du point de Lemoine (voir ci-dessous).

Nathan Court considère Lemoine comme un des fondateurs, avec Henri Brocard et Joseph Neuberg, de la « géométrie moderne du triangle », qui « repose sur l’abstraction des figures du plan plutôt que sur les méthodes analytiques utilisées auparavant et impliquant des mesures d’angles et de distances spécifiques » (source : wikipedia).

Lemoine a également établi une classification des constructions géométriques par le nombre de « constructions élémentaires » qu’elles demande. Dans l’exemple le plus emblématique, la construction d’un cercle tangent à trois cercles donnés, il trouve une méthode très astucieuse demandant 200 constructions élémentaires, contre 400 pour la méthode classique.

Ces recherches se heurtent à un mur d’indifférence de la part de la communauté mathématique. D’une part, celle-ci considère sans doute qu’une méthode plus longue mais plus naturelle est plus simple qu’une méthode ad hoc. Surtout, à la fin du XIXe siècle, la géométrie plane est en quelque sorte beaucoup plus élémentaire que les « grands problèmes » de l’époque —voir par exemple les problèmes de Hilbert de 1900.

Le point et le cercle de Lemoine

Dans un triangle quelconque, les symédianes, c’est-à-dire les droites symétriques des médianes par rapport aux bissectrices d’un triangle ont un point commun : le point de Lemoine du triangle.

De plus, les parallèles aux côtés du triangle passant par le point de Lemoine coupent les autres côtés en six points situés sur un même cercle, le cercle de Lemoine.

La conjecture de Lemoine

Semblable à la conjecture de Goldbach, qu’elle implique d’ailleurs, la conjecture de Lemoine exprime que tout nombre impair $n$ supérieur à 5 peut s’écrire comme somme d’un nombre premier $p$ et du double d’un autre $q$, c’est-à-dire que l’on a : $n=p+2q$. Cette conjecture est appelée conjecture de Levy dans les pays anglo-saxons.

Une biographie d'Émile Lemoine (en anglais)

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