Actualités

Ernest Vessiot est mort il y a soixante ans

Le 17 octobre 2012

Né à Marseille le 8 mars 1865, Ernest Vessiot meurt à La Bauche le 17 octobre 1952. Il entre à l’École normale supérieure en même temps que Jacques Hadamard, école qu’il dirigera à la fin de sa carrière (en résonance avec l’actualité, il y a en construit particulier les nouveaux bâtiments de physique qui abritent le laboratoire de Serge Haroche).

Sa thèse, qu’il soutient en 1892, porte sur les représentations des groupes de Lie, en relation avec les équations différentielles. Ces groupes sont l’ingrédient-clé d’une théorie nouvelle dont il est à l’origine, avec Émile Picard et à la suite des travaux de Jules Drach et d’Élie Cartan : la théorie de Galois différentielle, appelée aussi « théorie de Picard-Vessiot » (en).

Quelques mots sur la théorie de Galois différentielle

La théorie de Galois est née de la question de savoir si l’on pouvait résoudre une équation algébrique — par exemple $ax^2+bx+c=0$ — par des formules ne faisant intervenir que des opérations élémentaires (sommes, produits, différences, quotients) et l’extraction de racines — par exemple, la célèbre $(-b\pm\sqrt{b^2-4ac})/2a$ que l’on trouve jusque dans la Rubrique à brac. Galois a trouvé un critère, portant sur le groupe de Galois de l’équation, pour déterminer si une telle formule pouvait exister ; par exemple, il n’en existe pas en général pour une équation de degré 5. (Voir par exemple ce billet.)

De même, la théorie de Galois différentielle introduit un groupe pour étudier une équation différentielle linéaire. Une des premières applications typiques de cette théorie, c’est le théorème de Liouville, qui lui est antérieur : on ne peut pas « exprimer » la primitive de la fonction $e^{-x^2}$ à l’aide des fonctions usuelles. On peut aussi démontrer que $1/\cos(x)$ n’est solution d’aucune équation différentielle linéaire, alors que $y=\cos(x)$ satisfait à $y''+y=0$.

Cette théorie est évoquée dans cet article de Michèle Audin, que son auteur décrit comme « un beau hors piste ».

En savoir plus: biographie d'Ernest Vessiot (en anglais)

Partager cette actualité

La tribune des mathématiciens

Suivre IDM