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Hermann Weyl est mort il y a soixante ans

Le 9 décembre 2015

Hermann Weyl, né le 9 novembre 1885 à Elmshorn et mort le 8 décembre 1955 à Zurich, est un mathématicien et physicien théoricien allemand de premier plan. Fils du directeur d’une banque né près de Hambourg, il étudie les mathématiques et la physique à Munich et Göttingen, où il est captivé par son professeur David Hilbert, qui dirige sa thèse soutenue en 1908 sur les équations intégrales singulières. Il devient privat-docent à Göttingen jusqu’en 1913. Cette année-là, il épouse la philosophe Helene Joseph, avec qui il aura deux enfants. Il obtient aussi une chaire à l’EPFL de Zurich et y reste jusqu’en 1930 (à part l’année 1928-1929 qu’il passe à l’Institut des sciences avancées (IAS) de Princeton). La période zurichoise est la plus fructueuse de sa carrière. Pendant sa première année là-bas, Albert Einstein est en train d’y élaborer la relativité générale, dont les principes mathématiques fascinent Weyl. À partir de 1921, Erwin Schrödinger est recruté à Zurich et devient son ami proche. Entre 1930 et 1933, il occupe une chaire à Göttingen mais il la quitte lors de l’arrivée des nazis au pouvoir pour prendre un poste à l’IAS, qu’il garde jusqu’à sa retraite en 1951. À Princeton, il joue un rôle fécond de guide pour la génération montante de mathématiciens. Sa femme Hella meurt en 1948. Deux ans plus tard, il épouse la sculptrice Ellen Lohnstein Bär. À partir de sa retraite, sa vie est partagée entre Princeton et Zurich. Il meurt soudainement d’une crise cardiaque en 1955.

Ses travaux recouvrent de larges pans des mathématiques. Sa thèse relève de l’analyse. En 1913, son premier livre, très influent, porte sur les surfaces de Riemann dont il dégage le concept et rend la théorie plus rigoureuse que Riemann — il est même réédité en 1997 ! À partir de là, l’idée de symétrie (et le concept mathématique de groupe) devient prépondérante dans son travail. En 1917-1918, il développe une approche innovante de la relativité fondée sur la géométrie différentielle, ce qui le conduit à créer le concept de jauge (la métrique de Weyl) et de théorie de jauge. (Néanmoins, cela ne convainc pas Einstein, Pauli ou Eddington tout de suite.) À cette époque, il fait quelques contributions en théorie des nombres (notamment sur les sommes d’exponentielles (en) et la répartition des nombres modulo 1).

Entre 1923 et 1938, en même temps qu’Élie Cartan, il bouleverse la théorie des groupes de Lie (des objets abstraits destinés à exprimer la notion de symétrie munis d’une structure géométrique) en étudiant de façon très profonde leurs représentations matricielles (une façon « concrète » de réaliser les groupes avec des matrices). Le point culminant est sa formule des caractères (en), qui se révèle fondamentale pour la mécanique quantique. Elle reste un modèle pour les théories voisines. C’est sans doute la partie la plus importante de son œuvre.

Voici une citation célèbre :

Dans mon travail, j’ai toujours fait en sorte de réunir le vrai et le beau mais quand j’ai eu à choisir entre les deux, j’ai le plus souvent choisi le beau.

Le tenseur de Weyl, l’algèbre de Weyl (en), mais surtout la formule des caractères de Weyl (en), le groupe de Weyl, les chambres de Weyl (en), la dualité de Schur-Weyl (en), le théorème de Peter-Weyl (en), les théorèmes de Weyl (en) dans divers domaines, le critère de Weyl (en), l’inégalité de Weyl https://en.wikipedia.org/wiki/Weyl’s_inequality], l’« astuce de Weyl » (Weyl’s unitarian trick en anglais) (en), etc. — en tout une quarantaine d’objets ! — ont été nommés en son honneur.


Christophe Eckes, spécialiste de Weyl, lui a consacré sur ce site un portrait et un article consacré à son séjour à Göttingen.

En savoir plus : une biographie de Hermann Weyl (en anglais)

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