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Jacques Hadamard est mort il y a cinquante ans

Le 17 octobre 2013

Jacques Hadamard, né le 8 décembre 1865 à Versailles, mort le 17 octobre 1963 à Paris est un mathématicien français. En voici un portrait pointilliste. Sa carrière le porte au sommet des mathématiques françaises (universités de Bordeaux et Paris, puis Collège de France, Académie des sciences et École polytechnique), carrière honorée par la médaille d’or du CNRS en 1956. Parmi ses élèves figurent le probabiliste Paul Lévy, l’analyste Maurice Fréchet et il encadre les débuts du théoricien des nombres Raphaël Salem. Mais c’est aussi un homme engagé, notamment dans l’affaire Dreyfus. Sa distraction légendaire en aurait fait le modèle du Savant Cosinus.

Hadamard est surtout célèbre pour avoir démontré le théorème des nombres premiers, il apporte des contributions très importantes en analyse — on lui doit notamment la notion de problème bien posé dans la théorie des équations différentielles — et ses travaux se sont révélés utiles en cryptologie et en théorie du signal.

Son nom reste attaché aux matrices de Hadamard utilisées dans la transformée de Hadamard, aux produit de Hadamard, aux variétés de Hadamard et à la pseudo-transformation de Hadamard.

Le théorème des nombres premiers

Pour une présentation plus détaillée, plus ample, plus profonde, voir cet article de Michèle Audin.

Pour $x$ réel, combien y a-t-il de nombres premiers entre $1$ et $x$ ? Le théorème des nombres premiers affirme que c’est à peu près $x/\ln(x)$ (plus précisément, le quotient du nombre $\pi(x)$ de nombres premiers inférieurs à $x$ par $x/\ln(x)$ devient arbitrairement proche de $1$ lorsque $x$ croît indéfiniment). Il est équivalent de dire que le $n^{\mathrm{e}}$ nombre premier vaut à peu près $n\ln(n)$.

Ce résultat de régularité « vue de loin » (asymptotique) peut paraître surprenant car, « vue de près », la répartition des nombres premiers ne semble obéir à aucune règle : on trouve de très grands intervalles sans aucun nombre premier, a contrario il semble y avoir une infinité de nombres premiers à distance maximale de $5500$ (une belle histoire collective fondée sur une percée de Zhang Yitang). Il aurait été conjecturé par Carl Friedrich Gauss au début du XVIIIe siècle.

Un autre trait frappant de cette démonstration est qu’elle a été démontrée — la même année 1896, indépendamment par Hadamard et Charles de la Vallée Poussin — avec des méthodes analogues d’analyse portant sur les nombres complexes, alors que l’énoncé ne parle que de nombres premiers ! Néanmoins, une preuve « élémentaire » a été donnée en 1949 par Paul Erdős et Atle Selberg — ici, élémentaire signifie sans recours à l’analyse complexe, ce qui n’en fait pas une preuve facile...

Pour en savoir beaucoup plus...

Vladimir Maz’ya et Tatyana Shaposhnikova on consacré une biographie à Hadamard : Jacques Hadamard : a universal mathematician, American Mathematical Society, 1998 (ISBN 978-0-8218-1923-4). Elle a été traduite en français par Gérard Tronel aux éditions EDP Sciences en 2005 sous le titre Jacques Hadamard, un mathématicien universel, on peut la lire en ligne presque intégralement.

En savoir un peu plus: une biographie de Jacques Hadamard (en anglais)

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