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Johann Pfaff est né il y a deux cent cinquante ans

Le 22 décembre 2015

Johann Friedrich Pfaff, né 22 décembre 1765 à Stuttgart (Wurtemberg) et mort le 21 avril 1825 à Halle (Saxe), est un mathématicien allemand.

Deuxième d’une fratrie de sept (qui inclut un autre mathématicien et un professeur de médecine) dans une famille de fonctionnaires du duché de Wurtemberg, il étudie le droit jusqu’en 1785 à la Hohe Karlsschule. En même temps, il a étudié les mathématiques seul, notamment les travaux d’Euler. Sur recommandation du duc, il passe deux ans à l’université de Göttingen où il étudie les mathématiques avec Abraham Gotthelf Kästner et part en 1787 pour étudier l’astronomie avec Johann Elert Bode.

En 1788, il prend la chaire de Georg Klügel à Helmstedt et y reste jusqu’en 1810. S’efforçant d’attirer des étudiants en mathématiques, il fait venir en 1798 Carl Friedrich Gauss de Göttingen, qui assiste à ses cours et commence sa thèse sous sa direction. Pfaff se bat plusieurs années pour conserver l’université de Helmstedt ouverte mais elle ferme en 1810. Il part pour Halle avec Caroline Brandt, qu’il a épousée en 1803 et prend la chaire de mathématiques. Il y dirige l’observatoire de l’université à partir de 1812.

Les travaux de Pfaff portent sur les équations aux dérivées partielles (les « équations de la physique »), les fonctions spéciales et les séries. Il développe le théorème de Taylor avec le reste donné par Lagrange. Son mémoire le plus important date de 1815 « constitue le point de départ d’une théorie basique de la résolution des équations aux dérivées partielles qui, à travers Jacobi, Lie et d’autres, est devenue le calcul moderne des formes différentielles extérieures de Cartan » (Wurssing).

Le déterminant d’une matrice antisymétrique est le carré de son pfaffien. La notion et le terme ont été introduits par Arthur Cayley en 1852 : « Les permutants de cette classe (par leur lien avec les recherches de Pfaff sur les équations différentielles) je les appellerai pfaffiens » mais le lien avec les matrices antisymétrique ne date que des travaux de Thomas Muir en 1882. Par exemple,
[\mathrmPf\beginpmatrix 0 & a \ -a & 0 \endpmatrix=a,\quad
\mathrmPf\beginpmatrix0&a&b&c\-a&0&d&e\-b&-d&0&f\-c&-e&-f&0\endpmatrix=af-be+dc.]

En savoir plus : une biographie de Pfaff (en anglais)

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