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John Campbell est né il y a 150 ans

Le 27 mai 2012

John Edward Campbell (en) est né le 27 mai 1862 à Lisburn (Irlande) et mort le 1er octobre 1924 à Oxford (Angleterre). Sa contribution mathématique la plus connue est la formule de Baker-Campbell-Hausdorff (voir ici une version en anglais plus détaillée). Modeste et discret, il était extrêmement apprécié de ses étudiants et dévoué à ses tâches d’enseignants et de vice-principal de son college à Oxford.

La formule de Baker-Campbell-Hausdorff

Une des vertus de l’exponentielle (réelle ou complexe) est de transformer des sommes en produits. On peut faire de cette propriété la source de bien d’autres, par exemple la très forte croissance des processus exponentiels (endettement...) ou la formule d’addition des cosinus et des sinus.

On peut aussi calculer l’exponentielle de matrices (réelles ou complexes) mais on perd cette propriété : à moins que les matrices ne commutent, l’exponentielle de la somme de deux matrices et le produit des exponentielles prennent deux valeurs distinctes. La formule de BCH permet de mesurer la différence entre elles, c’est-à-dire d’en calculer le quotient. Si $X$ et $Y$ sont deux matrices complexes proches de la matrice nulle et si $Z$ est l’unique matrice proche de zéro telle que $\exp(Z)=\exp(X)\exp(Y)$, on a :
\[Z=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+\frac{1}{12}[X,[X,Y]]-\frac{1}{12}[Y,[X,Y]]+\cdots\]
où $[X,Y]=XY-YX$.

Dans la suite (qui est encore plus technique), nous allons en tirer quelques conséquences en théorie de Lie, notons deux caractéristiques importantes de cette formule :

  1. l’expression de $Z=Z(X,Y)$ est une série entière en $X$, $Y$ à coefficients rationnels ;
  2. les termes de cette série sont, à part ceux d’ordre $1$, des « monômes de Lie », c’est-à-dire qu’ils s’écrivent uniquement comme des crochets emboîtés les uns dans les autres.

En fait, cette formule s’étend à n’importe quel groupe de Lie simplement connexe et à son algèbre de Lie. Elle permet de prouver :

  1. que deux groupes de Lie simplement connexes qui ont des algèbres de Lie isomorphes sont isomorphes ;
  2. que si, dans un groupe de Lie, le produit est de classe $\mathcal{C}^1$, il est analytique ;
  3. que toute algèbre de Lie est l’algèbre de Lie d’un (germe de) groupe de Lie.

Une biographie de John Edward Campbell (en anglais)

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