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Karl Weierstrass est né il y a deux cents ans

Le 31 octobre 2015

Karl Weierstrass, né le 31 octobre 1815 à Ostenfelde (Westphalie) et mort le 19 février 1897 à Berlin, est un mathématicien allemand de premier plan.

Bien que ses talents soient avérés depuis le Gymnasium et sa vocation confirmée par ses travaux en autodidacte pendant ses études ratées de droit, sa carrière commence comme enseignant du secondaire et il ne se révèle à la communauté mathématique qu’en 1854 par des recherches sur les intégrales abéliennes. Il devient alors professeur à Berlin, qui devient la capitale mondiale des mathématiques grâce à lui, Kummer et Kronecker. Outre des contributions importantes au calcul des variations, sa recherche de rigueur le conduit à poser les fondements de l’analyse moderne (nombres réels, continuité, convergence de séries, fonctions analytiques, etc.), dont il peut être considéré comme le « père ».

Son nom est attaché aux objets et théorèmes suivants : équation de Weierstrass, fonction elliptique de Weierstrass, fonction de Weierstrass, théorème de Bolzano-Weierstrass, théorème de factorisation de Weierstrass, théorème de Lindemann-Weierstrass, théorème d’approximation de Weierstrass et théorème de Stone-Weierstrass, théorème de Weierstrass-Casorati, théorème de préparation de Weierstrass, théorème de Weierstrass aussi appelé théorème des bornes.

Quelques éléments biographiques plus précis

Le père de Weierstrass était secrétaire du maire d’Ostenfelde puis percepteur dans plusieurs villes, des positions modestes pour un homme bien éduqué dans le domaine des arts et des sciences. Cela peut expliquer que les débuts de la carrière Weierstrass aient été en dessous de ses capacités extraordinaires. La famille déménage fréquemment à partir de 1823 avant de s’établir à Paderborn en 1829, deux ans après la mort de la mère de Weierstrass.

Au Gymnasium de Paderborn, le niveau en mathématiques de Weierstrass lui permet déjà de lire le journal de Crelle (en). Mais il entre à l’université de Bonn en 1834 pour étudier le droit et la finance contre son gré. Il résout le conflit en passant quatre ans à faire de l’escrime dans une vie de barreau de chaise. Il fait des mathématiques seul, lisant la Mécanique céleste de Laplace et un traité sur les fonctions elliptiques de Jacobi. Stimulé par un article du journal de Crelle, il retrouve la présentation d’Abel des fonctions elliptiques à partir de leur équation différentielle, ce qui le détermine à devenir mathématicien. Il quitte l’université de Bonn à l’été 1838 sans même passer les examens, au désespoir de son père, qui le laisse cependant s’inscrire à Münster en 1839 pour devenir professeur du secondaire.

Weierstrass y retrouve Gudermann, dont il avait lu des cours, et qui l’encourage dans ses études mathématiques. Il devient professeur au Gymnasium de Münster puis est titularisé en 1842 à Deutsch Krone (aujourd’hui Wałcz, Pologne), où il reste jusqu’à être nommé à Braunsberg en 1848. Il décrit cette période par « une tristesse et un ennui sans fin », sans collègue avec qui faire des mathématiques, sans bibliothèque et sans correspondance scientifique.

Au contraire de ceux qu’il publiait dans le journal du Gymnasium de Braunsberg, un article Zur Theorie der Abelschen Functionen, publié en 1854 dans le journal de Crelle, a été remarqué par la communauté mathématique. Cela lui ouvre les portes : il reçoit un titre de docteur honoraire de l’université de Königsberg et, après une candidature à Breslau, un poste à Braunsberg en 1855. Il obtient un congé pour recherche et publie un deuxième article dans Crelle en 1856 où il complète la théorie ébauchée dans le précédent. Les offres d’emploi pleuvent : fuyant Braunsberg, il accepte un poste à la future Technische Hochschule de Berlin. L’université de Berlin lui offre une chaire quelques mois plus tard, qu’il ne pourra occuper que plusieurs années après.

Les cours de Weierstrass attirent des étudiants du monde entier. Ils portent successivement sur les applications des séries de Fourier et des intégrales en physique, les fonctions analytiques, les fonctions elliptiques (son domaine de recherche principal), les applications de la géométrie à la mécanique. En 1859-1860, un cours lui donne l’occasion de s’attaquer aux fondements de l’analyse. L’année suivante, à la théorie de l’intégration. Mais des problèmes de santé (apparemment liés au stress auquel il se soumettait étudiant) qui se sont déclarés en 1850 empirent et le font s’effondrer en décembre 1861. Il lui faut un an pour se remettre. À partir de là, ses attaques cessent et il souffre désormais de problèmes pulmonaires.

En 1863, il démontre que les complexes sont la seule extension algébrique des réels, un résultat annoncé par Gauss sans preuve en 1831. En 1872, sa quête de rigueur en analyse lui permet de découvrir une fonction continue nulle part dérivable, une pathologie dont Riemann avait essayé de donner un exemple dix ans avant.

Il construit un cours d’analyse sur quatre semestres et le donne jusqu’en 1890. Son approche domine encore l’enseignement actuel de l’analyse. Elle profite à de nombreux étudiants parmi lesquels Bachmann, Bolza, Cantor, Engel, Frobenius, Gegenbauer, Hensel, Hölder, Hurwitz, Killing, Klein, Kneser, Königsberger, Lerch, Lie, Lüroth, Mertens, Minkowski, Mittag-Leffler, Netto, Schottky, Schwarz et Stolz, à qui il faut ajouter Sophia Kovalevskaya (en), à qui il donne des cours particuliers car, étant une femme, elle n’est pas admise à l’université.

Avec Kummer et Kronecker, il fait de Berlin le principal centre mathématique de l’époque. Malheureusement, un conflit autour des travaux de Cantor entache ses relations avec Kronecker après 1885.

À partir de 1894, il commence à superviser l’édition de ses œuvres complètes, tâche difficile parce que nombre de ses travaux sont restés inédits. Elles occuperont finalement sept volumes publiés entre 1894 et 1927. Les trois dernières années de sa vie sont pénibles : il est confiné dans une chaise roulante, impotent et dépendant. Il meurt d’une pneumonie.

En savoir plus : une biographie de Weierstrass (en anglais)

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