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Kurt Hensel est né il y a 150 ans

Le 29 décembre 2011

Kurt Hensel est né le 29 décembre 1861 en Prusse orientale et mort le 1er juin 1941 à Marbourg (Allemagne). Sa famille est liée à Mendelssohn et aux mathématiciens Ernst Kummer et Hermann Schwarz.

Sa contribution principale est l’invention des nombres p-adiques. Si les nombres réels dont on a l’habitude généralisent les nombres qui s’écrivent comme une fraction (à savoir les nombres rationnels), les nombres p-adiques sont une autre généralisation des rationnels. Leur introduction vers 1900 était motivée par des raisons d’ordre technique et, d’ailleurs, leur importance n’a été reconnue qu’une vingtaine d’années plus tard grâce aux travaux de Helmut Hasse. Cependant, depuis, les nombres p-adiques sont devenus un ingrédient de base en arithmétique, en géométrie algébrique, etc.

Les nombres p-adiques ?

Informellement, les nombres réels sont les nombres qui ont une écriture de la forme $3,1415926\cdots$, avec un nombre fini de chiffres avant la virgule et un nombre infini après la virgule. Une telle écriture désigne le nombre $3\times10+1/10+4/100+5/1000+\cdots$. On peut remplacer $10$ par une autre base, disons $p$, alors les chiffres autorisés doivent prendre leurs valeurs entre $0$ et $p-1$.

Si $p$ est un nombre premier, on peut considérer les nombres qui ont une écriture de la forme $\cdots267456,257$, c’est-à-dire illimitée à gauche et limitée à droite. C’est curieux mais, par exemple, définir les opérations est plus facile que sur les réels : il suffit d’appliquer les algorithmes opératoires de l’école élémentaire, de la droite vers la gauche. Avec les réels, c’est bien plus difficile car il peut y avoir des retenues qui proviennent « de l’infini » (pensez à $0,2323232323\cdots+0,77777\cdots$).

Ces nombres sont exactement les nombres p-adiques de Hensel. Ils ont des propriétés étonnantes. Par exemple, si on identifie aisément les réels aux points d’une droite, il faut se représenter les nombres p-adiques comme un arbre infini très régulier (voir par exemple la page de P. Broussous).

Biographie de Kurt Hensel (en anglais)

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