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Le jour de e

Le 7 février 2018

C’est aujourd’hui l’$\mathrm{e}$-day, le jour de $\mathrm{e}$. Cette constante mathématique, définie comme la somme infinie
\[\mathrm{e}=\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}+\cdots=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!},\]
est aussi par définition l’exponentielle de $1$. Elle vaut environ $2,\!718$, ce qui correspond à la date d’aujourd’hui écrite à l’anglaise : 2/7/18 (avec le mois avant le jour).

Constante omniprésente en mathématiques (comme l’est la fonction exponentielle), on sait qu’elle est irrationnelle grâce à Leonhard Euler depuis 1739 et même transcendante grâce à Charles Hermite depuis 1873.

Pour célébrer $e$, voici quelques formules où il intervient :
\[\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}=-1\,;\]
\[\mathrm{e}=2+\frac1{1+\frac1{2+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{4+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{6+\ldots}}}}}}}}.\]
On peut également la relier à la star $\pi$ :
\[\mathrm{e}^{\pi\sqrt{163}}\simeq 640\,320^3+744-7,\!4\cdot10^{-13}.\]
Sachant que $\mathrm{e}$ et $\pi$ sont transcendant, saurez-vous montrer que $\mathrm{e}+\pi$ ou $\mathrm{e}\pi$ l’est ?

En savoir plus : le nombre e

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