Actualités

Leonard James Rogers est né il y a 150 ans

Le 30 mars 2012

Leonard James Rogers est né le 30 mars 1862 à Oxford (Angleterre) et y est mort en 1933. Homme aux multiples talents, linguiste, mime, créateur de jardins de pierres, mais surtout musicien et mathématicien, il a mené une carrière relativement discrète, notamment au Yorkshire College (aujourd’hui, l’université de Leeds).

Il a le premier démontré l’inégalité connue sous le nom d’inégalité de Hölder et a introduit une famille de polynômes orthogonaux qui porte son nom.

Mais son résultat le plus spectaculaire est la découverte en 1892-1894 de deux formules stupéfiantes, que le mathématicien indien Srinivasa Ramanujan a retrouvées de façon indépendante une vingtaine d’années plus tard (sans preuve). Ce sont les identités de Rogers-Ramanujan.

Quelques mots sur les identités de Rogers-Ramanujan

Une fois n’est pas coutume, laissons-nous porter par l’esthétique de la formule compliquée sans nécessairement essayer de la comprendre :

\[1+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{q^{n^2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(1-q^{5n-1})(1-q^{5n-4})}\]
et
\[1+\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{q^{n(n+1)}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(1-q^{5n-2})(1-q^{5n-3})}.\]

Une conséquence immédiate est la mystérieuse formule suivante :
\[\frac{1}{1+\frac{e^{-2\pi}}{1+\frac{e^{-4\pi}}{1+\frac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}=\left(\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}2}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)e^{2\pi/5}.\]

Le mathématicien anglais Godfrey Harold Hardy rend compte de la stupéfaction qu’il a ressentie en voyant ces formules que Ramanujan lui avait envoyées : « [elles] me déroutaient complètement. Je n’avais jamais vu quoi que ce soit de comparable auparavant. Un simple coup d’œil à ces formules suffit pour montrer qu’elles n’ont pu être écrites que par un mathématicien de grande classe. » (“...defeated me completely. I had never seen anything like them before. A single look at them is enough to show that they could only be written down by a mathematician of the highest class.”)

Ces formules s’interprètent dans plusieurs domaines relativement différents, en combinatoire (théorie des partitions) et en algèbre (théorie des représentations). De plus, elles sont apparues dans la résolution par le physicien Baxter d’un modèle de mécanique statistique appelé hard hexagon problem.

Comme on l’a dit plus haut, Rogers a découvert ces formules le premier et les a prouvées, Ramanujan les a devinées mais sans les prouver ; ils en ont publié ensemble une nouvelle preuve en 1919, juste avant la retraite de Rogers à cause d’une maladie sérieuse. Depuis, de nombreuses démonstrations ont été proposées, dont une par Issai Schur en 1917.

Ce joli poster (en anglais) contient plus de détails mathématiques.

PS : Malheureusement, les liens vers la wikipedia sont presque tous en anglais.

En savoir plus: biographie de James Rogers (en anglais)

Partager cette actualité

La tribune des mathématiciens

Suivre IDM