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Les chiffres des unités des paires de nombres premiers consécutifs sont très erratiques

Le 14 mars 2016

Une prépublication datée du 11 mars repérée par le site malgache Houssenia writing met en évidence de façon expérimentale et propose une explication conjecturale d’une propriété étonnante des nombres premiers.

Fixons un entier $q$. Il est connu depuis le milieu du XIXe siècle et le théorème de Dirichlet que le reste de la division des nombres premiers par $q$ (en prenant $q=10$, on trouve simplement le chiffre des unités) prend toutes les valeurs possibles avec la même « fréquence ». Une interprétation rustique consiste à dire que « tout se passe comme si les nombres premiers étaient tirés au hasard ». Le fait de répéter un grand nombre de fois (et même une infinité de fois...) conduit à de grande régularités en moyenne. De plus, des travaux récents de Michael Rubinstein et Peter Sarnak (1994) rendent parfaitement compte des légers biais entre les « fréquences » observées et celles que prédit la théorie. Bref, tout est clair.

Robert J. Lemke Oliver, Kannan Soundararajan s’intéressent aux restes modulo $q$ de paires de nombres premiers consécutifs : et là, surprise ! le phénomène attendu de régularisation ne se produit pas. Le comportement des paires de restes est beaucoup plus erratique que ce qu’imaginaient les experts. Certes, ils ne démontrent pas les phénomènes observés mais ils les rendent plausibles par des calculs numériques et en les reliant à une conjecture bien connue.

Addendum (18/3) : Nature en parle.

En savoir plus : le site Houssenia writing

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