Actualités

Max Dehn est mort il y a soixante ans

Le 27 juin 2012

Max Dehn, mathématicien allemand né le 13 novembre 1878, est mort le 27 juin 1952. Étudiant la géométrie sous la direction de Hilbert, il résout dès 1900 le troisième des vingt-trois problèmes posés par ce dernier au congrès international de mathématiques la même année.

Il écrit en 1907 un des premiers traités systématiques de topologie. La topologie est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux propriétés préservées par déformation continue (ce qui interdit les découpages ou recollements par exemple). C’est une contrainte qu’on rencontre en pratique lorsqu’on tente d’éliminer les nœuds que peuvent faire des écouteurs audio, un câble électrique ou un pendentif, sans débrancher ces premiers ni ouvrir ce dernier. Dehn s’intéresse en particulier à la topologie de petite dimension, la théorie des variétés de dimension 3 (analogues à nos surfaces, pour un être qui vivrait dans un espace de dimension 4) et la théorie des nœuds. Il prouve en 1914 que l’on ne peut pas transformer sans le déchirer un nœud de trèfle (obtenu en recollant les extrémités d’une ficelle après y avoir fait une demi-clé) en le nœud qui est son image dans un miroir.

Dehn est aussi très connu pour ses travaux sur la combinatoire des groupes, domaine dont on trouve une introduction dans cet article (difficile) : il y a introduit deux problèmes importants, le problème du mot (en) et le problème d’isomorphisme.

Une « vie brève » de Max Dehn a été décrite ici même.

Le troisième problème de Hilbert

Il s’agit de déterminer si, étant donnés deux polyèdres (c’est-à-dire une portion bornée de l’espace délimitée par des faces planes) de même volume, on peut toujours décomposer l’un en un nombre fini de polyèdres pour recomposer l’autre, à la façon d’un puzzle. La question analogue pour les polygones du plan a une réponse positive mais Hilbert conjecturait que la réponse en dimension trois est négative, ce que Dehn a confirmé.

Pour ce faire, Dehn associe à chaque polyèdre une « quantité » appelée invariant de Dehn, additive (au sens où l’invariant d’un polytope est la somme des invariants des deux portions de polytopes délimitées par un plan) et invariante par déplacement. Si deux polyèdres peuvent être décomposés l’un en l’autre, il en résulte que leurs invariants de Dehn doivent être égaux. Or l’invariant d’un cube est nul alors que celui d’un tétraèdre ne l’est pas.

L’invariant de Dehn n’est pas un nombre mais un élément d’un ensemble dans lequel les notions d’addition, de $0$ et de soustraction ont un sens ($\mathbb{Z}\otimes\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}$ pour les spécialistes). L’usage de cette « quantité » algébrique permet de réfuter la possibilité qu’un découpage existe sans essayer tous les découpages possibles, ce qui serait inconcevable. La méthode illustre la puissance de l’algèbre en dehors de son champ propre.

En savoir plus: biographie de Max Wilhelm Dehn (en anglais)

Partager cette actualité

La tribune des mathématiciens

Suivre IDM