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Médailles Fields 2014

Le 13 août 2014

Le 13 août 2014, l’Union internationale des mathématiques a décerné les prix suivants à l’inauguration du Congrès international des mathématiciens :

Médaille Fields

  • Artur Avila (CNRS, France & IMPA, Brazil) : [Artur Avila reçoit une médaille Fields] parce que ses profondes contributions à la théorie des systèmes dynamiques ont bouleversé le domaine, grâce à la puissante idée de renormalisation comme un principe unificateur [1]. Plus de détails sur IdM ici.
  • Manjul Bhargava (Princeton University, États-Unis) [reçoit une médaille Fields]
    pour avoir développé de puissantes nouvelles méthodes dans la géométrie des nombres et pour les avoir appliquées pour dénombrer les anneaux de petit rang et pour borner le rang moyen des courbes elliptiques [2]. Plus de détails sur IdM ici.
  • Martin Hairer (Université de Warwick, Grande-Bretagne) [reçoit une médaille Fields] pour ses contributions exceptionnelles à la théorie des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS), et en particulier pour avoir créé une théorie des structures de régularité pour de telles équations. Plus de détails sur IdM ici.
  • Maryam Mirzakhani (Université Stanford, États-Unis) [reçoit une médaille Fields] pour ses contributions exceptionnelles à la dynamique et à la géométrie des surfaces de Riemann et de leurs espaces de modules. [3] Plus de détails sur IdM ici.

Citations détaillées

  • Artur Avila (CNRS, France & IMPA, Brésil) reçoit une médaille Fields pour ses profondes contributions à la théorie des systèmes dynamiques qui ont bouleversé le domaine, grâce à la puissante idée de renormalisation comme principe unificateur.
    • Avila conduit et modèle le domaine des systèmes dynamiques. Avec ses collaborateurs, il a fait des progrès essentiels dans de nombreuses directions, en particulier les dynamiques unidimensionnelles réelle et complexe, la théorie spectrale de l’opérateur de Schrödinger à une fréquence, les billards plats et la dynamique partiellement hyperbolique.
    • Le travail d’Avila sur la dynamique en dimension un a permis de compléter le sujet, apportant une compréhension totale du point de vue probabiliste et une théorie de la renormalisation complète. Son travail en dynamique complexe a conduit à une compréhension approfondie de la géométrie fractale des ensembles de Feigenbaum-Julia.
    • En théorie spectrale des opérateurs de Schrödinger à une fréquence, Avila a fourni une description globale des transitions de phase entre des spectres discrets et absolument continus, établissant ainsi une étonnante analyticité stratifiée de l’exposant de Lyapounov.
    • Dans la théorie des billards, Avila a prouvé plusieurs conjectures qui résistaient depuis longtemps sur le comportement ergodique des applications d’échange d’intervalles. Il a fait des avancées profondes dans notre compréhension de l’ergodicité stable des systèmes partiellement hyperboliques typiques.
    • L’approche collaborative d’Avila est une inspiration pour une nouvelle génération de mathématiciens.
  • Manjul Bhargava (Princeton University, États-Unis) [reçoit une médaille Fields]
    pour avoir développé de puissantes nouvelles méthodes dans la géométrie des nombres et pour les avoir appliquées pour dénombrer les anneaux de petit rang et pour borner le rang moyen des courbes elliptiques.
    • La thèse de Bhargava fournissait une reformulation de la loi de Gauss pour la composition de deux formes quadratiques binaires. Il a montré que les orbites du groupe SL(2,Z)3 dans le produit tensoriel de trois copies de la représentation entière standard correspond aux anneaux quadratiques (les anneaux de rang 2 sur Z) munis de trois classes d’idéaux dont le produit est trivial. On retrouve ainsi la loi de composition de Gauss d’une manière originale et efficace pour les calculs. Il a alors étudié les orbites dans des représentations entières plus compliquées, qui correspondent aux anneaux cubiques, quartiques et quintiques, et a compté le nombre de tels anneaux de discriminant borné.
    • Bhargava s’est ensuite tourné vers l’étude des représentations qui ont un anneau de polynômes pour invariants. Les représentations les plus simples de ce genre sont données par l’action de PGL(2,Z] sur l’espace des formes binaires quartiques. Celle-ci a deux invariants indépendants, qui sont reliés à l’espace des modules des courbes elliptiques. Avec son étudiant Arul Shankar, Bhargava a utilisé des estimations délicates du nombre d’orbites entières de hauteur bornée pour majorer le rang moyen des courbes elliptiques. En généralisant ces méthodes à des courbes de genre plus grand, il a récemment montré que la plupart des courbes hyperelliptiques de genre supérieur à deux n’ont pas de point rationnel.
    • Le travail de Bhargava repose à la fois sur une compréhension profonde des représentations de groupes arithmétiques et sur une combinaison unique d’expertise algébrique et analytique.
  • Martin Hairer (Université de Warwick, Grande-Bretagne) [reçoit une médaille Fields] pour ses contributions exceptionnelles à la théorie des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS), et en particulier pour avoir créé une théorie des structures de régularité pour de telles équations.
    • Un problème mathématique important partout en science est de comprendre l’influence du bruit sur les équations différentielles et sur le comportement en temps long des solutions. Ce problème a été résolu pour les équations différentielles ordinaires par Itō dans les années 1940. Pour les équations aux dérivées partielles, une théorie d’ensemble est restée hors d’atteinte et seuls des cas particuliers ont été traités de façon satisfaisante.
    • Le travail de Hairer concerne deux aspects centraux de la théorie. En collaboration avec Mattingly, il a utilisé le calcul de Malliavin et de nouvelles méthodes pour établir l’ergodicité de l’équation de Navier-Stokes stochastique en dimension deux.
    • En travaillant à partir de la difficile approche de Lions pour les équations différentielles ordinaires stochastiques, Hairer a ensuite créé une théorie abstraite des structures de régularité pour les équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). Cela permet de donner des développement à la Taylor autour de n’importe quel point de l’espace en tout temps. Grâce à cette nouvelle théorie, il a pu construire systématiquement des solutions aux EDPS non linéaires singulières comme points fixes d’une procédure de renormalisation.
      Hairer a ainsi pu donner, pour la première fois, un sens intrinsèque rigoureux à de nombreuses EDPS issues de la physique.
  • Maryam Mirzakhani (Université de Stanford, États-Unis) [reçoit une médaille Fields] pour ses contributions exceptionnelles à la dynamique et à la géométrie des surfaces de Riemann et de leurs espaces de modules.
    • Maryam Mirzakhani a fait des avancées stupéfiantes dans la théorie des surfaces de Riemann et de leurs espaces de leurs espaces de modules, elle a repoussé les frontières dans ce domaine. Ses percées ont intégré des méthodes de domaines divers, comme la géométrie algébrique, la topologie et la théorie des probabilités.
    • En géométrie hyperbolique, Mirzakhani a établi des formules asymptotiques et statistiques pour le nombre de géodésiques simples sur une surface de Riemann de genre g. Elle a ensuite utilisé ces résultats pour donner une preuve nouvelle et complètement inattendue de la conjecture de Witten, une formule pour les classes caractéristiques des espaces de modules de surfaces de Riemann avec des points marqués.
    • En dynamique, elle a trouvé une nouvelle construction remarquable qui établit un pont entre les aspects holomorphes et symplectique de l’espace des modules et l’a utilisée pour montrer que le « flot du tremblement de terre » de Thurston est ergodique et mélangeant.
    • Très récemment, dans le contexte complexe, Mirzakhani et ses collaborateurs ont produit une preuve attendue depuis longtemps de la conjecture selon laquelle — alors que la clôture d’une géodésique réelle dans un espace de module peut être un coréseau fractal, ce qui défie toute classification — la clôture d’une géodésique complexe est toujours une sous-variété algébrique.
    • Ses travaux ont révélé que la théorie de la rigidité des espaces homogènes (développée par Margulis, Ratner et d’autres) a un écho significatif dans le contexte hautement inhomogène, mais aussi fondamental des espaces de modules, où de nombreux développements sont en train de se dérouler.

 

Prix Nevanlinna

Subhash Khot (en) (Université de New York, États-Unis) reçoit le prix Nevanlinna pour sa définition visionnaire du problème « des jeux uniques » et pour son leadership dans l’effort de comprendre sa complexité et son rôle pivot dans l’étude d’approximations efficaces de problèmes d’optimisation, qui a engendré des percées dans la conception d’algorithmes et la difficulté des approximations, ainsi que des interactions nouvelles et passionnantes entre la complexité algorithmique, l’analyse et la géométrie.

Citation détaillée

  • Subhash Khot a défini les « jeux uniques » en 2002 et il conduit depuis les recherches sur sa complexité et son rôle pivot dans l’étude de l’approximation efficace de problèmes d’optimisation. Khot et ses collaborateurs ont montré que la difficulté des jeux uniques implique une caractérisation précise des meilleurs facteurs d’approximation que l’on peut atteindre pour tout une collection de problèmes d’optimisation NP-durs. Cette découverte fait du problème des jeux uniques un problème ouvert majeur de la théorie du calcul.
  • La quête en cours pour étudier sa complexité a eu des retombées inattendues. D’abord, les réductions utilisées dans les résultats précédents ont permis d’identifier de nouveaux problèmes, en analyse et en géométrie, ce qui a vitalisé l’analyse des fonctions booléennes, un domaine à l’interface des mathématiques et de l’informatique. Cela a conduit à de nouveaux théorèmes de limite centrale, des principes d’invariance, des inégalités isopérimétriques et des théorèmes inverses, avec un impact sur la recherche en complexité du calcul, sur les phénomènes pseudo-aléatoires, l’apprentissage et la combinatoire. Par ailleurs, Khot et ses collaborateurs ont exploité des intuitions venant de leur étude des jeux uniques pour obtenir de nouvelles minorations de la distorsion impliquée par l’injection d’un espace métrique dans un autre, ainsi que des constructions de familles dures d’instances pour les algorithmes habituels de programmation linéaire et semi-définie. Cela a inspiré de nouveaux travaux dans la conception d’algorithmes qui étendent ces méthodes, largement enrichies par la théorie des algorithmes et de ses applications.

 

Prix Gauss

Stanley Osher (en) (Université de Califonie, États-Unis) reçoit le prix Gauss pour ses contributions influentes à plusieurs domaines de mathématiques appliquées et pour ses inventions à longue portée qui ont changé notre conception de concepts physiques, mathématiques et liés à la perception, nous donnant ainsi de nouveaux outils pour appréhender le monde. [4]

Citation détaillée

Stanley Osher a fait des contributions influentes dans une grande variété de domaines en mathématiques appliquées. Elles incluent des méthodes de capture de chocs à haute résolution pour les équations hyperboliques, des méthodes de lignes de niveaux, des méthodes fondées sur les EDP en vision par ordinateur et en traitement d’image, et en optimisation. Ses contributions en analyse numérique, en particulier le schéma d’Engquist-Osher, les schémas TVD, les conditions d’entropie, les schémas ENO et WENO et les schémas numériques pour les équations de type Hamilton-Jacobi, ont révolutionné le domaine.

Parmi ses contributions sur les lignes de niveau figurent un nouveau calculus des lignes de niveau, des techniques numériques innovantes, la modélisation de fluides et de matériaux, des approches variationnelles, de l’analyse du mouvement en grande codimension, de l’optique géométrique, et le calcul de solutions discontinues des équations de Hamilton-Jacobi ; les méthodes de lignes de niveau ont eu une très forte influence dans les domaines de la vision par ordinateur, du traitement d’image et du traitement graphique des ordinateurs. De plus, de telles nouvelles méthodes ont motivé certaines des études les plus fondamentales dans la théorie des EDP ces dernières années, contribuant à l’image des mathématiques appliquées inspirant les mathématiques pures.

Stanley Osher a des qualités de pédagogue hors pair : il a influencé l’éducation de générations d’excellents mathématiciens appliqués, et grâce à son esprit d’entreprise, il a intégré avec succès ses mathématiques dans l’industrie.

Éduqué comme mathématicien appliqué, mathématicien appliqué pendant toute sa vie, Osher continue à surprendre les communautés mathématique et numérique avec l’invention de schémas et de formules simples et astucieux. Ses inventions ont une longue portée, elles ont changé notre conception de concepts physiques, mathématiques et liés à la perception, nous donnant ainsi de nouveaux outils pour appréhender le monde.

 

Médaille Chern

Phillip Griffiths (en) (Institute for Advanced Study, États-Unis) reçoit la médaille Chern 2014 pour le développement révolutionnaire de méthodes transcendante en géométrie complexe, en particulier ses travaux phares sur la théorie de Hodge et sur les périodes des variétés algébriques. [5]

Prix Leelavati

Adrián Paenza (es) (Université de Buenos Aires, Argentine) reçoit le prix Leelavati, financé par Infosys « pour des contributions exceptionnelles à la diffusion publique des mathématiques par une personne » pour avoir changé la façon dont un pays entier conçoit les mathématiques dans la vie de tous les jours, et en particulier pour ses livres, ses émission de télévision et son don unique d’enthousiasme et de passion lorsqu’il communique la beauté et la joie des mathématiques. [6]

Addendum (14/8) : Des articles présentent les lauréats et leurs mathématiques de façon plus détaillée :

Notes

[1Artur Avila is awarded a Fields Medal for his profound contributions to dynamical systems theory have
changed the face of the field, using the powerful idea of
renormalization as a unifying principle.

[2Manjul Bhargava is awarded a Fields Medal for developing powerful new methods in the geometry of numbers
and applied them to count rings of small rank and to bound the average rank of elliptic curves.

[3Maryam Mirzakhani is awarded the Fields Medal for her outstanding contributions to the dynamics and geometry of Riemann surfaces and their moduli spaces.

[4[Stanley Osher is awarded the Gauss Prize for his influential contributions to several fields in applied mathematics, and his far-ranging inventions have changed our conception of physical, perceptual, and mathematical concepts, giving us new tools to apprehend the world.

[5Phillip Griths is awarded the 2014 Chern Medal for his groundbreaking and transformative development of transcendental methods in complex geometry, particularly his seminal work in Hodge theory and periods of algebraic varieties.

[6LEELAVATI PRIZE, sponsored by Infosys (for outstanding contributions to public outreach in mathematics by an individual) : Adrian Paenza of Buenos Aires University (Argentina) for his decisive contributions to changing the mind of a whole country about the way it perceives mathematics in daily life, and in particular for his books, his TV programs, and his unique gift of enthusiasm and passion in communicating the beauty and joy of mathematics.

En savoir plus: le site de l'ICM 2014 (en anglais)

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