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Nouveau record du plus grand nombre premier connu (26/12)

Le 5 janvier 2018

Le 50e nombre de Mersenne premier a été découvert le 26 décembre 2017 par J. Pace, G. Woltman, S. Kurowski, A. Blosser, et al. dans le cadre du projet Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS). Il s’écrit
\[2^{77\,232\,917}-1\]et comporte 23 249 425 décimales. Le précédent record datait de janvier 2016 : c’était $2^{74\,207\,281}-1$, il avait presque un million de chiffres de moins (quel minus !).

Rappelons qu’un nombre premier est un entier supérieur ou égal à $2$ qui ne possède que deux diviseurs positifs, $1$ et lui-même. Les nombres premiers sont au cœur de l’arithmétique. La compréhension fine de leur répartition fait l’objet de l’hypothèse de Riemann, l’un des sept problèmes du millénaire pour l’institut Clay. La recherche sur les nombres premiers est très active, donc, mais la recherche de nombres premiers très grands relève plutôt de l’exercice de style. Par ailleurs, les nombres premiers interviennent dans la vie quotidienne à travers la cryptographie.

Les nombres de Mersenne sont les nombres de la forme $2^n-1$, où $n$ est un entier. Rares sont ceux qui sont premiers. Il est facile de montrer que si $2^n-1$ est premier, alors $n$ est lui-même un nombre premier. Mais il y a plus de 4,5 millions de nombres premiers inférieurs à $77\,232\,917$ et seuls cinquante d’entre eux donnent lieu à des nombres de Mersenne premiers ! Les plus petits sont $2^2-1=3$, $2^3-1=7$, $2^5-1=31$, etc.

La recherche des nombres de Mersenne premiers a été lancée en 1996. Elle est distribuée dans le monde entier sur les ordinateurs personnels de volontaires. Jonathan Pace, qui a le premier découvert ce nombre, y participe depuis quatorze ans. Le record lui rapporte 3000 dollars.

Le principe de la recherche consiste à appliquer des tests rapides pour éliminer au plus vite les nombres qui ne sont pas premiers. Il faut ensuite certifier que le candidat est vraiment premier et c’est assez long : la première preuve de primalité, par Jonathan Pace, a pris six jours complets de calcul et les autre impétrants l’ont confirmé indépendamment en plusieurs dizaines d’heures de calcul, de 34 h à 85 h (le temps dépend du programme et de l’ordinateur).

NB : El País en parle, la presse française reste muette à cette heure...

En savoir plus : le communiqué de presse du projet GIMPS

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