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Problème « simple » cherche solution depuis 250 ans

Le 16 mai 2012

Nous reprenons le titre de l’article québécois de La Presse référencé ci-dessous pour cette nouvelle : un progrès spectaculaire a été annoncé par Terence Tao, médaille Fields 2010, sur la conjecture de Goldbach, un problème à l’énoncé extrêmement simple qui défie pourtant les mathématiciens depuis 250 ans.

Rappelons qu’un nombre premier est un entier (naturel) qui ne peut pas s’écrire comme produit de deux entiers strictement plus petits. Par exemple, 2, 3, 5 et 7 sont premiers mais 9 ou 15 ne le sont pas car on peut écrire 9=3x3 et 15=3x5. La conjecture de Goldbach (due à Euler, 1707-1783) exprime que tout entier pair peut s’écrire comme somme de deux nombres premiers —c’est-à-dire que si on se donne un nombre pair, on peut trouver deux nombres premiers dont il est la somme : par exemple, pouvez-vous trouver deux nombres premiers dont la somme est 40 ? ou 98 ? La conjecture de Goldbach « faible » (due à Goldbach, 1690-1764, celle-là) affirme que tout nombre impair peut s’écrire comme somme de trois nombres premiers. On sait depuis les années 1930 qu’il existe au plus un nombre fini d’exceptions mais on n’a pas d’information sur la taille maximale d’une exception. C’est pourquoi, les vérifications par ordinateur pour tous les entiers de moins de 19 chiffres étaient rassurantes mais, pour la démonstration, inutiles.

Ce que vient d’annoncer Terence Tao, c’est que tout nombre impair peut être écrit comme somme de cinq nombres premiers (au lieu de trois). De plus, il semble être optimiste sur la possibilité d’étendre ses méthodes à la conjecture initiale. Mais son article n’est pas encore publié, ce qui signifie que le processus de vérification par des experts est en cours. Néanmoins, l’auteur est réputé pour son sérieux —ainsi que son imagination, la diversité des problèmes qu’il attaque, le succès de ses attaques, sa productivité, etc.

Références : Nature reprend un article de Scientific American. Les articles semblent faire suite à la pré-publication de Terence Tao sur le serveur arXiv et sur son blog, entre fin janvier et début février.

Dans le roman Oncle Petros et la conjecture de Goldbach, d’Apostolos Doxiadis décrit un mathématicien génial dont l’énergie et la vie sont englouties dans la recherche d’une preuve à cette conjecture inaccessible.

En savoir plus: La Presse

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