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Un ballon de football dans une balle de ping-pong

Le 11 juillet 2017

Une équipe vient de produire les premières images d’un objet paradoxal : une « sphère réduite », c’est-à-dire une sphère de grand rayon plongée sans modification des distances dans une boule de rayon beaucoup plus petit.

Impossible, pensez-vous ? Eh bien si, au prix d’ajouter à la sphère bien lisse des plis et des replis, en prenant bien garde à ne pas changer les distances. On répète ce processus une infinité de fois, ce qui conduit à un nouveau type d’objets : les « fractales lisses ».

Cette sphère réduite fait l’objet d’un article dans la très chic revue Foundations of Computational Mathematics. On trouve cet article (dans une version légèrement différente de la version publiée), ainsi qu’un dossier de presse et, bien sûr, des images sur le site de l’équipe. À l’occasion, vous verrez peut-être une impression 3D de la sphère réduite. Le Monde et le CNRS en parlent aussi.

Basée à Lyon et Grenoble, l’équipe Hévéa (h-principe, visualisation et applications) réunit Vincent Borrelli, Roland Denis, Francis Lazarus, Tanessi Quintanar, Damien Rohmer, Mélanie Theillière et Boris Thibert.

Un problème « à bords » difficile à aborder

Les lecteurs fidèles se souviennent sans doute du tore plat créé par la même équipe (ainsi que cette vision plongeante). La sphère posait une nouvelle difficulté considérable : comment passer d’une structure analytique (les calottes) à une structure $\mathscr{C}^1$-fractale (la bande équatoriale). Pour cela, il faut résoudre une équations aux dérivées partielles (EDP) sur un domaine avec des contraintes sur le bord.

Les mots-clés de la construction sont encore plus obscurs que ceux du paragraphe précédent : intégration convexe, h-principe. Sachez qu’ils renvoient à deux grands mathématiciens : John Forbes Nash, dont la vie a inspiré Un homme d’exception, et Mikhaïl Gromov, que vous avez peut-être entendu naguère sur France Inter.

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