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Un nouvel article d’Erdős résout un problème sur les fractions égyptiennes

Le 11 décembre 2015

Presque vingt ans après sa mort, le fameux mathématicien Paul Erdős continue à publier, grâce aux conjectures qu’il a laissées et aux amis qui se battent pour les prouver.

Depuis son décès en 1996, Paul Erdős a publié 35 articles posthumes. Il n’a en fait jamais rencontré son dernier co-auteur en date (le 512e !), Steve Butler, professeur à l’université d’état de l’Iowa et amateur de jonglage. L’article dont il est question a un troisième auteur, Ronald Graham, professeur à l’université de Californie à San Diego, mathémagicien et lui aussi jongleur.

Erdős avait l’art de poser des problèmes très faciles à présenter et très difficiles à résoudre. Ici, il s’agit de fractions égyptiennes, qui portent ce nom à cause du papyrus mathématique Rhind (en) du British Museum. Les Égyptiens représentaient les fractions comme sommes d’inverses d’entiers tous différents. Par exemple, $47/60$ était écrit $1/3+1/4+1/5$.

C’est très malcommode pour calculer mais cela constitue un objet de recherche intéressant. En 1932, le 2e des 1526 articles d’Erdős prouvait que certaines fractions égyptiennes n’étaient jamais des entiers (en) ; quant à Graham, il a montré en 1963 dans sa thèse le « théorème 77 » (en).

Deux théorèmes sur les fractions égyptiennes

József Kürschák a prouvé en 1918 qu’une somme de fractions égyptiennes consécutives comme $1/10+1/11+1/12+1/13$ n’était jamais un entier (pour peu qu’il y ait au moins deux fractions). Erdős a étendu ce résultat : pour tous les entiers $k\ge2$, $m$ et $d$ tels que $m$ et $d$ soient premiers entre eux, la somme suivante n’est pas un entier :
\[\sum_{j=0}^{k-1}\frac{1}{m+dj}\notin\mathbb{N}.\]
(Le théorème de Kürschák correspond au cas $d=1$.)

Le « théorème 77 » de Graham exprime que tout entier supérieur ou égal à $78$ peut s’écrire comme somme d’entiers tous différents dont la somme des inverses vaut $1$. Par exemple,
\[78=45+12+9+5+4+3\quad\hbox{et}\quad\frac{1}{78}=\frac{1}{45}+\frac{1}{12}+\frac{1}9+\frac{1}5+\frac{1}4+\frac{1}3.\]

Mais $77$ n’admet pas de telle décomposition, d’où le nom du théorème.

Chaque fois qu’ils se sont rencontrés entre 1963 et 1996, Erdős et Graham ont réfléchi au problème suivant : est-ce que tout entier peut s’écrire comme somme de fractions égyptiennes dont les dénominateurs sont des produits de deux nombres premiers distincts ? Ils en étaient convaincus, pensaient même avoir une stratégie mais ils ne parvenaient pas à mener la preuve à bien. Bien qu’une réponse positive ait été annoncée dans un livre de 1981, Unsolved Problems in Number Theory de Richard Guy, le problème reste ouvert.

L’article de Butler, Erdős et Graham (à ce jour une prépublication en réalité) montre que tout entier peut s’écrire comme somme de fractions égyptiennes dont les dénominateurs sont des produits de trois nombres premiers distincts.

La contribution initiale de Steve Butler, un étudiant de Fan Chung Graham, l’épouse de Ronald Graham, a été de chercher des décompositions explicites sur ordinateur. Il a également permis de préciser et simplifier les idées d’Erdős et Graham. Les calculs ont fait apparaître des motifs qui ont permis de dépasser les limites de l’ordinateur. C’est un petit tour de force que d’avoir achevé cette preuve difficile.

NB : Ici, on veut exprimer un nombre comme somme d’un nombre arbitraire de fractions égyptiennes dont les dénominateurs sont « très simples » (c’est-à-dire possèdent trois facteurs premiers. Inversement, la conjecture d’Erdős-Straus exprime que tout rationnel de la forme $4/n$ est la somme de trois fractions égyptiennes dont les dénominateurs sont « arbitrairement compliqués », c’est-à-dire possèdent autant de facteurs premiers que nécessaire).

En savoir plus : le site de la fondation Simons

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