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Un amateur fait une percée sur un problème de plus de soixante ans

Le 20 avril 2018

Le problème de Hadwiger-Nelson, formulé vers 1950, est très simple à énoncer. On souhaite colorier tous les points du plan de sorte que deux points situés à une distance égale à 1 soient de couleurs différentes. Quel est le nombre minimal de couleurs nécessaires ?

Il est facile de montrer que quatre couleurs sont nécessaires et que sept suffiront toujours (voir cette figure). Cet encadrement n’est pas très précis mais depuis près de soixante-dix ans, personne n’était encore arrivé à le resserrer. Aubrey de Grey a défrayé la chronique au début de ce mois d’avril en annonçant que le nombre minimal de couleurs nécessaires est au moins cinq ! Ce qui est frappant, c’est que de Grey n’est pas un mathématicien mais un biologiste, chercheur à la SENS Research Foundation. Passionné du jeu Othello, de Grey s’intéresse à des problèmes mathématiques pour se distraire de ses problèmes de recherche.

Bien que sa prépublication n’ait pas encore été acceptée pour publication, ce qui est une condition nécessaire pour que son résultat puisse être considéré comme démontré, plusieurs spécialistes des graphes ont vérifié sa construction. En effet, De Grey a exhibé un ensemble explicite de 1 581 points du plan qui ne peut pas être colorié avec moins de cinq couleurs : c’est facile de le vérifier mais très difficile d’imaginer une telle configuration tant qu’elle n’est pas donnée. En utilisant son idée, d’autres ont un peu amélioré le résultat en exhibant un ensemble de 826 points du plan impossible à colorier avec quatre couleurs.

Il est rare qu’un⋅e mathématicien⋅ne amateur/trice fasse une contribution significative à un problème de recherche mais cela arrive parfois. Par exemple, l’amatrice Marjorie Rice a découvert en 1970 un nouveau pavage du plan par des pentagones identiques, contredisant un professionnel qui pensait avoir démontré que la liste connue jusque là était complète : voir la présentation du problème, un rebondissement en 2015 et peut-être la fin de la quête.

En savoir plus : l'article de Quanta Magazine

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