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“Well, Papa can you multiply triplets?”

Le 2 septembre 2015

Sir William Rowan Hamilton est né le 4 août 1805 à Dublin et mort le 2 septembre 1865 à Dublin. Mathématicien irlandais, figure majeure de l’algèbre, il travaille également en physique (optique géométrique, dynamique) et en astronomie.

Enfant prodige, il apprend les langues très facilement : il connaît le latin, le grec et l’hébreu à sept ans et en parle treize à treize ans, dont le persan, l’arabe, l’hindousthânî, le sanskrit et le malais ! À douze ans, la rivalité avec l’Américain Zerah Colburn (en) aurait attisé son intérêt pour les mathématiques. Il étudie l’Algèbre de Clairaut, et, à partir de quinze ans, Newton et Laplace (dans un livre duquel il détecte une erreur). À dix-huit ans, il entre au Trinity College de Dublin.

Il obtient à vingt-et-un ans le poste de professeur d’astronomie à l’observatoire Dunsink du Trinity College avec le titre honorifique d’Astronome royal, alors qu’il n’est pas encore diplômé. Il y fait sa carrière, moins préoccupé par l’astronomie que par ses recherches en physique ou en mathématiques. En 1830 ou 1831, il épouse Helen Maria Bayly dont il a trois enfants.

“Well, Papa can you multiply triplets?”

La contribution pour laquelle Hamilton est le plus connu est le corps des quaternions, généralement noté $\mathbf{H}$ ou $\mathbb{H}$ en son honneur.

On sait que les nombres complexes permettent de multiplier des couples de nombres réels, de sorte que les règles de calcul habituelles soient satisfaites : associativité et commutativité de la somme et du produit, distributivité du produit sur la somme, possibilité de diviser par n’importe quel nombre non nul. Les nombres complexes rendent d’immenses services en géométrie plane. Il était naturel, dans l’espoir d’algébriser de même la géométrie dans l’espace, de vouloir une structure analogue avec les triplets de réels.

Hamilton la cherche pendant des années, cela le préoccupe tant que ses enfants lui posent quotidiennement cette question : « Eh bien, Papa, tu sais multiplier les triplets ? » La solution lui apparaît le 16 octobre 1843 (un lundi) lors d’un trajet avec sa femme le long du Royal Canal de Dublin, pour aller présider une réunion de l’Académie royale irlandaise :

Et là m’est apparue l’idée qu’il faut accepter, en un sens, une quatrième dimension d’espace pour pouvoir calculer avec les triplets. Un circuit électrique semblait se refermer et une étincelle a jailli.

Ne suivant guère la conversation, il grave sur une pierre du Broome bridge les relations qui décrivent la première algèbre non-commutative étudiée en tant que telle :
[i^2 = j^2 = k^2 = i j k = -1.]
Une plaque érigée en 1958 commémore l’événement. Hamilton pense que sa découverte a la même importance que le calcul infinitésimal au 17e siècle et passe la fin de sa vie à étudier les quaternions. Arthur Cayley, autre grand algébriste britannique de la fin du 19e siècle, compare les quaternions à
une carte de poche, qui contient tout mais qu’il faut savoir déplier pour la comprendre.

Hamilton reçoit de nombreux honneurs : en 1835, il est anobli et reçoit la Royal Medal ; en 1837, il est élu président de la Royal Irish Academy et membre correspondant de l’Académie des sciences de Russie. Il apprend quelques jours avant sa mort son élection comme premier membre étranger de l’Académie nationale des sciences américaine.


Outre son initiale $\mathbb{H}$ donnée au corps des quaternions, son nom est attaché au théorème de Cayley-Hamilton (dont les agrégatifs ne sauraient connaître trop de preuves...) et aux notions d’opérateur hamiltonien en mécanique quantique, de principe de Hamilton et d’équations de Hamilton-Jacobi en mécanique, de champ de vecteurs hamiltonien en géométrie différentielle, de circuit hamiltonien en théorie des graphes...

En savoir plus : une biographie de Hamilton (en anglais)

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