Figure sans paroles #3.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • wamifils3945 Juillet 2015

    Il s’agit ici de démontrer que les points appartiennent à une même droite remarquable et que l’un des points M est centre du cercle circonscrit à ce triangle.

  • Aziz El Kacimi Août 2015

    Oui, effectivement ! Voyons un peu plus de quoi il s’agit. Soit $ABC$ un triangle non dégénéré (ses trois sommets ne sont pas alignés). Il est bien connu que les :

    a) médianes de $ABC$ concourent en un point $M$ qui est son centre de gravité ;

    b) médiatrices de $ABC$ concourent en un point $O$ qui est le centre de son cercle circonscrit (le cercle passant par les trois sommets) ;

    c) bissectrices de $ABC$ concourent en un point $I$ qui est le centre de son cercle inscrit (le cercle à l’intérieur du triangle tangent aux trois côtés) ;

    d) hauteurs de $ABC$ concourent en un point $H$ qui est son orthocentre.

    Les assertions a), b) et c) sont relativement faciles à démontrer. Pour l’assertion d) on passe par une petite astuce
    qui consiste à faire intervenir un deuxième triangle dont les médiatrices sont précisément les hauteurs en question. À cet effet, on trace les parallèles aux côtés $BC$, $CA$ et $AB$ passant respectivement par les points $A$, $B$ et $C$ ; celles-ci déterminent un triangle $A'B'C'$ (qu’on peut bien voir si on fait un dessin).

    1. Montrer que les hauteurs de $ABC$ sont les médiatrices de $A'B'C'$. (Ce qui prouve l’assertion d).)

    2. Montrer que $A'B'C'$ se déduit de $ABC$ par une homothétie $h$ dont on déterminera le centre et le rapport.

    3. Formuler ``les" questions suggérées par la figure 3.1 et y répondre.

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