Figure sans paroles #3.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 3.9

    le 1er août à 11:44, par Hébu

    On se donne un quadrilatère $ABCD$. On note $E, F$ les projetés orthogonaux des sommets $A, B$ sur $CD$, et $G, H$ les projetés de $C, D$ sur $AB$.

    On note $J$ l’intersection de $AE$ et $DH$, $K$ l’intersection de $BF$ et $CG$, $L$ et $M$ les milieux de $BD$ et $AC$.

    Alors les droites $(JK)$ et $(NM)$ sont orthogonales.

    .
    Je peux construire un cercle de diamètre $AC$. Les points $A, C, E, G$ sont cocycliques (angles droits en $E, G$), le cercle a son centre en $M$.

    De même $B, D, H, F$ sont cocycliques, le cercle centré en $L$, de diamètre $BD$.

    Les triangles rectangles $HJA$ et $EJD$ sont semblables (angles égaux), on peut écrire $HJ/JA=EJ/JD$, soit $JH\times JD=JE\times JA$ : le point $J$, de même puissance par rapport aux deux cercles, est sur leur axe radical.

    .Même argument pour $K$ (triangles $GKB$ et $FKC$).

    La droite $(JK)$ est l’axe radical des deux cercles. Elle est orthogonale à la ligne des centres $(LM)$.

    Document joint : idm3-9-1.jpg
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