Figure sans paroles #4.1.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.7

    le 31 décembre 2019 à 15:42, par Hébu

    On se donne un triangle $ABC$, les hauteurs $AD$ et $BE$. Du point $D$, les projetés orthogonaux $F$ et $G$ sur $AB$ et $AC$. Les segments $ED$ et $GF$ se coupent au point $H$, et il faut montrer que $H$ est le milieu de $ED$.

    .
    On notera $a, b, c$ les mesures des angles en $A, B, C$ du triangle. Il va s’agir d’une histoire d’angles, compliquée d’une similitude filandreuse. L’idée est de montrer que les triangles $HEG$ et $HDG$ sont isocèles, et que par conséquent $HE=HG$, puis $HG=HD$.

    Pour cela on calcule les angles. Tout d’abord, les triangles rectangles $BEC$ et $ADC$ sont semblables (angles égaux) : $CE/CB=CD/CA$. Ce qui, ré-écrit $CE/CD=CB/CA$, permet de proclamer la similitude de $CED$ et $CBA$ (angle en $C$ commun, côtés adjacents proportionnels). Et donc $\widehat{CED}=b$. Et puisque $C, G, F, B$ sont cocycliques, $\widehat{CGF}+b=\pi$, et donc $\widehat{EGH}=b$ : le triangle $HEG$ est isocèle.

    C’est plus simple pour $HGD$, les angles en $D$ et $G$ étant égaux, complémentaires de $\widehat{CED}=b$ ; il est isocèle, et $HG=HD$ (son isocélité/isocélitude est une conséquence de celle de $HGE$ : puisque $\widehat{DEG}=\widehat{EGH}$, alors $\widehat{DGH}=\widehat{EDG}$).

    .

    Remarques :

    On trouve les angles $a, b, c$ partout sur la figure, de sorte que, par exemple, les triangles $AGF$, $ABC$, $DEC$, sont semblables.

    soit $K$ le point de concours de $GF$ et $BE$, alors $GEKD$ est un rectangle.

    Document joint : idm4-1-7-2.jpg
    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Tribune