Commentaire sur l'article

• 4.1.7

  le 31 décembre 2019 à 15:42, par Hébu

  On se donne un triangle $ABC$, les hauteurs $AD$ et $BE$. Du point $D$, les projetés orthogonaux $F$ et $G$ sur $AB$ et $AC$. Les segments $ED$ et $GF$ se coupent au point $H$, et il faut montrer que $H$ est le milieu de $ED$.

  .
  On notera $a, b, c$ les mesures des angles en $A, B, C$ du triangle. Il va s’agir d’une histoire d’angles, compliquée d’une similitude filandreuse. L’idée est de montrer que les triangles $HEG$ et $HDG$ sont isocèles, et que par conséquent $HE=HG$, puis $HG=HD$.

  Pour cela on calcule les angles. Tout d’abord, les triangles rectangles $BEC$ et $ADC$ sont semblables (angles égaux) : $CE/CB=CD/CA$. Ce qui, ré-écrit $CE/CD=CB/CA$, permet de proclamer la similitude de $CED$ et $CBA$ (angle en $C$ commun, côtés adjacents proportionnels). Et donc $\widehat{CED}=b$. Et puisque $C, G, F, B$ sont cocycliques, $\widehat{CGF}+b=\pi$, et donc $\widehat{EGH}=b$ : le triangle $HEG$ est isocèle.

  C’est plus simple pour $HGD$, les angles en $D$ et $G$ étant égaux, complémentaires de $\widehat{CED}=b$ ; il est isocèle, et $HG=HD$ (son isocélité/isocélitude est une conséquence de celle de $HGE$ : puisque $\widehat{DEG}=\widehat{EGH}$, alors $\widehat{DGH}=\widehat{EDG}$).

  .

  Remarques :

  On trouve les angles $a, b, c$ partout sur la figure, de sorte que, par exemple, les triangles $AGF$, $ABC$, $DEC$, sont semblables.

  soit $K$ le point de concours de $GF$ et $BE$, alors $GEKD$ est un rectangle.

  Document joint : idm4-1-7-2.jpg
  Répondre à ce message

• 4.1.7

  le 5 juin 2020 à 18:17, par Hébu

  Je m’aperçois que j’ai écrit, sans le justifier, que mes points C, G, F, B étaient cocycliques. Horreur !

  Pour réparer cet oubli, et offrir une autre méthode :

  Les triangles IEJ et DGF sont semblables (côtés proportionnels, à cause de GD // IE, DF // IJ, angles égaux en D et I).EJ et GF sont donc parallèles.

  Conséquence : puisque B,C,E,J sont cocycliques, alors B,C,G,F le sont également (voilà, j’ai réparé)

  .
  Depuis D, une parallèle à AC coupe BE en un point K’. Le quadrilatère GEK’D est un rectangle, dont les diagonales se coupent en leur milieu. : H’, point de concours de DE et GK’, est milieu de DE.

  Reste à montrer que K et K’ coïncident — et donc H et H’..

  L’angle FGA est égal à l’angle B. Puisque K’DGE est un rectangle, ses sommets sont sur un cercle et K’GE=GK’D=GED=B (JED=180-2B, angle du triangle orthique). GK’ et GF sont parallèles, et donc confondus.

  .
  En fait, la figure regorge de cercles : points A,F,D,G, ou A,J,I,E, et d’autres encore

  Répondre à ce message