Figure sans paroles #4.1.13

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.13

    le 19 novembre 2019 à 18:41, par Hébu

    Un segment $AB$. Depuis le point $A$ (resp. $B$) on trace une droite $Ax$ (resp. $By$, ces droites se coupant en $E$.

    Depuis $A$ (resp. $B$) on mène la perpendiculaire $AD$ à $By$ (resp. $BC$ à $Ax$).

    Depuis $E$ on abaisse $EH$, perpendiculaire à $AB$.

    Soient $K$ et $J$ les milieux de $AD$ et $BC$. Soit $M$ le milieu de $AB$.

    Alors, les points $H, M, K, J$ sont cocycliques.

    .
    Prolongeons les segments $AD$ et $BC$. Soit $P$ leur point d’intersection.

    Dans le triangle $PAB$, les droites $AC$ et $BD$ sont les hauteurs menées de $A$ et $B$. Leur point de concours, $E$ est donc l’orthocentre du triangle, de sorte que $PE$ est la hauteur issue de $P$. Il s’ensuit que $P, E$ et $H$ sont alignés ($PH$ est la hauteur).

    L’angle $\widehat{PHM}$ est droit, $PM$ est donc le diamètre d’un cercle, passant par $P, M$ et $H$.

    Considérons le segment $MK$. Il joint les milieux des segments $AB$ et $AD$, et est donc parallèle (et de longueur moitié) à $BD$. $MK$ est donc perpendiculaire à $AP$ : puisque $\widehat{MKP}=\pi/2$, alors $K$ est sur le cercle de diamètre $PM$.

    Le même argument s’applique au point $J$.

    En résumé, la circonférence de diamètre $PM$ passe par les points $K, J$, et $H$.

    Document joint : idm4-1-13.jpg
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