Figure sans paroles #4.1.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.14

    le 20 septembre à 12:11, par Hébu

    On se donne un segment $AB$. Depuis $A$ et $B$, on trace deux droites $Ax$ et $By$ (du même côté — est-ce important ?), qui se coupent au point $C$.

    Depuis $A$, on trace la perpendiculaire $AK$ sur $By$. De même, $BP$, perpendiculaire de $B$ sur $Ax$.
    Ensuite, depuis $J$ on abaisse $JK$, perpendiculaire sur $Ax$ et $JL$ sur $AB$. Egalement, $PQ$, perpendiculaire sur $By$ et $PR$ sur $AB$.

    Et l’on constate que $KL=QR$ !

    .

    On note $a$ et $b$ les valeurs des angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{JBA}$

    C’est encore, en partie, une histoire d’angles. Les points $A, J, K$ et $L$ sont cocycliques (angles droits en $K$ et $L$). Les angles $\widehat{ALK}$ et $\widehat{AJK}$ sont supplémentaires, $\widehat{AJK}$ étant complémentaire à $\widehat{JAK}$.

    Or, $\widehat{JAK}=(\pi/2-b)-a$, ce qui donne $\widehat{AJK}=\pi/2-\pi/2+a+b=a+b$. On a donc $\widehat{ALK}=\pi-(a+b)$.

    Cela aboutit à $\widehat{LKB}=a+b$.

    Le même calcul, à partir de $PQRB$, inscriptible lui aussi, aboutira à la même valeur, $\widehat{QRA}=a+b$. Et donc à $\widehat{LKB}=\widehat{QRA}$.

    .

    Maintenant, les triangles $CJA$ et $CPB$ sont semblables, de sorte que $CJ/CP=CA/CB$. Et les triangles $CJK$ et $CPQ$, également semblables, donnent $CJ/CP=CK/CQ$.

    Rapprochant les deux égalités, il vient que $CA/CB=CK/CQ$. Cela implique que $KQ$ est parallèle à $AB$ (Thalès).
    $KQRL$ est donc un trapèze isocèle et $KL=QR$.

    Document joint : idm4-1-14.jpg
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