Figure sans paroles #4.1.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.14

    le 20 septembre 2018 à 12:11, par Hébu

    On se donne un segment $AB$. Depuis $A$ et $B$, on trace deux droites $Ax$ et $By$ (du même côté — est-ce important ?), qui se coupent au point $C$.

    Depuis $A$, on trace la perpendiculaire $AK$ sur $By$. De même, $BP$, perpendiculaire de $B$ sur $Ax$.
    Ensuite, depuis $J$ on abaisse $JK$, perpendiculaire sur $Ax$ et $JL$ sur $AB$. Egalement, $PQ$, perpendiculaire sur $By$ et $PR$ sur $AB$.

    Et l’on constate que $KL=QR$ !

    .

    On note $a$ et $b$ les valeurs des angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{JBA}$

    C’est encore, en partie, une histoire d’angles. Les points $A, J, K$ et $L$ sont cocycliques (angles droits en $K$ et $L$). Les angles $\widehat{ALK}$ et $\widehat{AJK}$ sont supplémentaires, $\widehat{AJK}$ étant complémentaire à $\widehat{JAK}$.

    Or, $\widehat{JAK}=(\pi/2-b)-a$, ce qui donne $\widehat{AJK}=\pi/2-\pi/2+a+b=a+b$. On a donc $\widehat{ALK}=\pi-(a+b)$.

    Cela aboutit à $\widehat{LKB}=a+b$.

    Le même calcul, à partir de $PQRB$, inscriptible lui aussi, aboutira à la même valeur, $\widehat{QRA}=a+b$. Et donc à $\widehat{LKB}=\widehat{QRA}$.

    .

    Maintenant, les triangles $CJA$ et $CPB$ sont semblables, de sorte que $CJ/CP=CA/CB$. Et les triangles $CJK$ et $CPQ$, également semblables, donnent $CJ/CP=CK/CQ$.

    Rapprochant les deux égalités, il vient que $CA/CB=CK/CQ$. Cela implique que $KQ$ est parallèle à $AB$ (Thalès).
    $KQRL$ est donc un trapèze isocèle et $KL=QR$.

    Document joint : idm4-1-14.jpg
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    • 4.1.14

      le 8 mai à 11:20, par Sidonie

      Bonjour, J’ai encore posté une démonstration qui pourrait vous intéresser et, encore une fois, elle s’est mal placée.

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  • 4.1.14

    le 8 mai à 00:42, par Sidonie

    Et voici encore une autre démonstration, pas plus simple mais fort différente.

    (AJ) et (BP) se coupent en D. M est le milieu de [JP]. Le cercle de diamètre JP passe par K et Q et coupe (AJ) et (BP) en E et F. (JK) et (PQ) se coupent en G formant le parallélogramme DJGP. J’aurai aussi besoin du cercle de diamètre AB et de centre X passant par J et P que je n’ai pas représenté. H et I sont les milieux de [BJ] et [CP] et centre de cercles passant par A,J,K,L et B,P,Q,R

    M est centre de symétrie pour le cercle et le parallélogramme. K est sur le côté (JG) donc son symétrique est l’intersection entre (KM) et (DP) (image de (JG) ) c’est à dire F . De même Q et E sont symétriques et KEFQ est un rectangle..

    J’utilise les angles orientés de droites. Les cercles portent le nom de leur centre en minuscule.

    Dans (x) : (AB,AJ) = (PB,PJ) = (PF,PJ) . Dans (m) (PF,PJ) = (EF,EJ) = (EF,AJ) et donc (AB)//(EF)//(KQ)

    Dans (h) : (AL,AJ) = (KL,KJ) . Dans (m) (KF,KJ) = (EF,EJ) mais (AL,AJ) = (EF,EJ) (ligne précédente donc (KL,KJ) = (KF,KJ) alors (KL) // (KF) et par suite confondues . On aura de même l’alignement R,Q,M,E .

    Le triangle MKQ est isocèle , (KQ)//(AB) entraîne MLR isocèle aussi donc LK = ML -MK =MR - MQ = RQ.

    La figure recèle d’autres surprises. M a même puissance par rapport aux cercles (h) et (i), et via le cercle (x) D a aussi même puissance par rapport à (h) et (i) donc (BM) $\bot$ (HI).
    C est l’intersection des hauteurs (PK) et (JQ) du triangle GJP c’est donc l’orthocentre et (GC) $\bot$ (PJ)

    Document joint : fsp_4.1.14.jpg
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  • 4.1.14

    le 17 mai à 17:35, par Hébu

    Je n’avais pas encore regardé votre proposition. C’est réellement différent ! Et cela permet de découvrir une multitude de propriétés cachées dans le dessin.

    .
    Etonnant !

    Répondre à ce message

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