Figure sans paroles #4.1.16

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.16

    le 11 janvier à 15:16, par Hébu

    On trace les cercles $(C_1)$ et $(C_2)$, de diamètre $AB$ et $AC$ d’un triangle $ABC$. Soient $O_1$ et $O_2$ centres de ces cercles, milieux de $AB$ et $AC$.

    La perpendiculaire issue de $B$ coupe $AC$ en $J$ et $(C_2)$ en $M$ (intérieur du triangle) et $N$. La perpendiculaire issue de $C$ coupera $AB$ en $K$ et $(C_1)$ en $P$ et $Q$.

    Les points $M, P, N, Q$ sont cocycliques.

    .
    Considérons la hauteur issue de $C$. Elle coupe $(C_1)$ en $P$ et $Q$, de sorte que $PQ$ est perpendiculaire au diamètre $AB$. On a donc $KQ=KP$ et $AQ=AP$.

    De même, $MN$ est perpendiculaire au diamètre $AC$ de $(C_2)$, de sorte que $AM=AN$.

    La troisième hauteur $AI$ est l’axe radical de $(C_1)$ et $(C_2)$. Considérons le cercle $(C)$ qui passe par $Q, M$ et $P$. La droite $PQ$ est l’axe radical de $(C)$ et $(C_1)$. Le point $H$ (l’orthocentre) est donc le centre radical des trois cercles $(C_1)$, $(C_2)$ et $(C)$. Et donc $MH$ est axe radical de $(C)$ et $(C_2)$, et $N$ est donc à l’intersection des deux cercles : $(C)$ passe également par le point $N$.

    Document joint : idm4-1-16.jpg
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    • 4.1.16

      le 14 janvier à 14:32, par Sidonie

      Vous allez finir par me haïr. J’ai encore une autre solution.

      On a tout de suite AM=AN et AP=AQ.

      Les triangles APB et AMC sont rectangles et G et H sont les pieds des hauteurs issues des angles droits. Une relation dans le triangle rectangle donne AM²= AH*AC et AP² = AG*AB or ces deux produits sont lla puissance de A par rapport au cercle de diamètre [BC] donc égales.

      AM² = AP² donne AM = AP (les distances étant positives) donc M,N,P et Q sont à la même distance de A

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      • 4.1.16

        le 14 janvier à 15:20, par Hébu

        Haïr, non ! Je vais simplement me conforter dans mon personnage de créateur de preuve à rallonge (ce que je dois être)...

        En fait, sérieusement, j’ai l’impression qu’on a là deux preuves assez différentes, et ça me plait énormément.

        .
        L’idée que j’ai toujours eue, sans trop y penser, c’est qu’une propriété géométrique a une cause — un point est le milieu d’un segment, quatre points sont cocycliques, etc. Mais le problème est dans la preuve.

        Comparant avec un roman policier : le détective peut essayer de comprendre les raisons du crime. Il peut aussi chercher des preuves de la culpabilité. Et ce sont là deux attitudes différentes.

        Lorsqu’on arrive, par deux arguments différents, à établir un résultat, c’est un peu comme si le détective avait
        trouvé deux preuves établissant que c’est bien X qui a étranglé la marquise. Mais pour élucider totalement l’affaire, il faudra comprendre pourquoi il l’a fait.

        .
        Je me sens toujours dans cette situation. J’ai 2, 3 preuves que l’angle est droit, etc. Mais puis-je réellement comprendre pourquoi ?

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  • 4.1.16

    le 14 janvier à 14:30, par Sidonie

    Vous allez finir par me haïr. J’ai encore une autre solution.

    On a tout de suite AM=AN et AP=AQ.

    Les triangles APB et AMC sont rectangles et G et H sont les pieds des hauteurs issues des angles droits. Une relation dans le triangle rectangle donne AM²= AH*AC et AP² = AG*AB or ces deux produits sont lla puissance de A par rapport au cercle de diamètre [BC] donc égales.

    AM² = AP² donne AM = AP (les distances étant positives) donc M,N,P et Q sont à la même distance de A

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