Figure sans paroles #4.1.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.17

    le 11 janvier à 15:14, par Hébu

    Dans un triangle quelconque, on trace la hauteur $AD$, puis depuis $D$ les perpendiculaires $DE$ sur $AB$ et $DF$ sur $AC$.

    Les points $B, E, F, C$ sont cocycliques.

    .
    En fait, c’est assez simple, je m’offre le luxe de deux preuves !

    Les triangles $ABD$ et $ADE$ sont semblables. De $AB/AD=AD/AE$ on déduit $AB\times AE=AD^2$.

    Même calcul avec $ACD$ et $ADF$, d’où $AF\times AC=AD^2$.

    Finalement, $AB\times AE=AF\times AC$. Prenant un cercle, passant par $B, E$ et $C$, la puissance de $A$ indique que le point $F$ sera sur ce cercle.

    .
    Autre idée. Le quadrilatère $AEDF$ est inscriptible, d’où on déduit les angles $\widehat{DEF}=\widehat{DAF}$, $\widehat{EFD}=\widehat{EAD}$.

    Maintenant dans $BEFC$, $\widehat{BEF}+\widehat{FCB}=\pi/2+\widehat{DAF}+\widehat{C}=\pi$ — il est donc inscriptible.

    Document joint : idm4-1-17.jpg
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    • 4.1.17

      le 5 mai à 15:11, par Sidonie

      Je viens de poster une démonstration en réponse qui s’est mal placée.

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  • 4.1.17

    le 5 mai à 15:09, par Sidonie

    Bonjour

    Je vous sais friand de démonstrations alternatives. En voici une de plus valable aussi pour le 4.1.8.

    J’ajoute les hauteurs (BI) et (CJ) et l’orthocentre K.

    On a (JK)//(DE) donc AJ/AE = AK/AD. De même (KI)//(DF) entraîne AK/AD=AI/AF. AJ/AE=AI/AF entraîne (IJ)//(EF).

    B,C I et J sont cocycliques à cause des angles droits G,H,I et J le sont sur le cercle d’Euler.

    Maintenant, j’utilise les angles orientés de droites à cause des diverses figures possibles.

    4.1.7 (EB,EF) = (JB,JI) = (CB,CI) = (CB,CF) d’où B,C,E et F cocycliques

    4.1.8 (EF,EG) = (JI,JG) = (HI,HG) = (HF,HG) d’où E,F,G et H cocycliques

    Document joint : fsp_4.1.7_et_8.jpg
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    • 4.1.17

      le 6 mai à 15:05, par Hébu

      Bonjour,

      Oui, j’apprécie cette façon d’arriver à un même résultat, par un chemin inattendu ! (enfin, inattendu de moi) Mais ici, au risque de paraître lourd, j’avoue ne pas trop comprendre. L’argument déroulé (que j’aime bien, il court-circuite tous ces calculs d’angles, fastidieux) prouve que les points B,C,E et F sont cocycliques.

      Dans mon propre raisonnement, j’avais tenu ce résultat pour acquis (on l’avait montré au 4.1.5 ou 4.1.6 — pas forcément de la bonne façon).

      Alors, ai-je raté quelque chose ? je veux dire, quant à l’égalité des deux longueurs (je me suis penché sur 4.1.7 seulement)

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      • 4.1.17

        le 7 mai à 23:11, par Sidonie

        Je suis encore trompée, je ne voulais pas parler des 4.1.7 et 8 mais des 4.1.17 et 4.1.18. Je vous présente mes excuses.

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        • 4.1.17

          le 8 mai à 11:18, par Hébu

          ouf ! Ca me rassure — j’avais peur d’être devenu sénile... Pas de souci !

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