Figure sans paroles #4.1.20

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.20

    le 2 janvier à 15:56, par Hébu

    Dans le triangle $ABC$, on trace les hauteurs $AF$, $BE$ et $CD$, concourantes en $H$. Soit $K$ le projeté orthogonal de $A$ sur $DE$. On prolonge la droite $AK$, en y plaçant le point $A'$ tel que $AK=KA'$.

    Le cercle qui passe par les points $F, H, A'$ passe aussi par $O$, centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.

    .
    Un résultat classique dit que les rayons $OA, OB, OC$ sont perpendiculaires aux côtés $DE, DF, EF$ du triangle orthique. Faut-il ici utiliser ce résultat ?

    On peut aussi le redémontrer en passant. Prolongeons $AK$, qui va couper le cercle circonscrit en un point $J$.

    Comme dans plusieurs figures précédentes, les triangles $ADE$ et $ACB$ sont semblables. Conséquence, $\widehat{JAC}=\pi/2-\widehat{B}$, et puisque $\widehat{AJC}=\widehat{B}$, alors $\widehat{ACJ}=\pi/2$ : $AJ$ est un diamètre du cercle circonscrit, et $O$, le centre, est le milieu de $AJ$.

    .

    Les triangles $CJA$ et $DHA$ sont semblables ($\widehat{CJA}=\widehat{B}=\widehat{AHD}$) donc $AJ/AH=AC/AD$.

    De même, les triangles $FAC$ et $KAD$ sont semblables (angles en $A$ complémentaires de $\widehat{C}$), donc $AF/AK=AC/AD$.

    Rapprochant les deux résultats, on écrit $AJ/AH=AF/AK$ soit $AH\times AF=AJ\times AK$ : les points $J, F, K, H$ sont cocycliques, l’égalité exprime la puissance du point $A$ par rapport à ce cercle.L

    .
    On considère alors le cercle passant par $F, H$ et $A'$. La puissance de $A$ s’écrit $AF\times AH$, soit $AJ\times AK$. Mais avec $O$ le centre du cercle circonscrit, $AJ=2\times AO$, et d’autre part $AK=AA'/2$. Il en résulte que $AH\times AF=AA'\times AO$.

    Cela signifie que $O$ se situe sur ce cercle.

    Document joint : idm4-1-20-2.jpg
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    • 4.1.20

      le 16 février à 22:35, par Sidonie

      Cher Hebu, vous passez encore à côté d’une solution entièrement basée sur les puissances.

      J’ajoute à votre figure le cercle C1 passant par B,F,G et D grâce aux deux angles droits, M le milieu de [AB] et donc (OM) perpendiculaire à (AB) et C2 le cercle passant par O,K,D et M.

      Il ne reste plus qu’à exprimer les puissances de A par rapport à ces deux cercles :

      C1 : AD.AB = AG.AF

      C2 : AD.AM = AK.AO d’où en multipliant AM et AK par 2

      AD.AB = AA’.AO = AG.AF et les points A’,O, G et F deviennent cocycliques

      Document joint : fsp_4.1.20.jpg
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      • 4.1.20

        le 17 février à 16:07, par Hébu

        Je m’incline ! C’est une admirable démonstration. Je songe à me composer un livret de poèmes géométriques, celle-ci y aura sa place !

        .
        Et bien sûr je me sens un peu bête, en tant qu’amateur des puissances, d’avoir manqué ça. Comme quoi à celui qui ne possède qu’un marteau, certains clous peuvent échapper...

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