Figure sans paroles #4.1.21

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.1.21

    le 3 janvier à 16:52, par Hébu

    On trace les hauteurs $BD$ et $CE$ d’un triangle $ABC$. Depuis un point $F$ quelconque sur $(CE)$ (extérieur au triangle), on mène le segment $FA$, puis sa perpendiculaire qui vient couper $(BD)$ en $G$.

    Le projeté orthogonal de $A$ sur $FG$ est le point $H$, et il faut montrer que $\widehat{BHC}=\pi/2$.

    .

    A cause des angles droits en $E$ et $H$, les points $A, F, E, H$ sont cocycliques : $\widehat{AFH}=\widehat{AEH}$. Même chose concernant $A, H, D, G$, et $\widehat{AGH}=\widehat{ADH}$

    On calcule à partir de là $\widehat{HDC}+\widehat{HEC}$ :

    $\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=(\pi-\widehat{AGH})+((\pi-\widehat{AFH})-\pi/2)$ ; puisque $\widehat{AGH})+\widehat{AFH}=\pi/2$, l’expression se ramène à $\widehat{HDC}+\widehat{HEC}=\pi$. C’est à dire que $D, H, E, C$ sont cocycliques. Puisque $B, E, D, C$ le sont également, $H$ est sur ce cercle, d’où le résultat.

    .
    Un sujet d’étonnement : je rédige et je poste en même temps le 4.1.21 et le 4.1.22. Quelle différence de longueur (et de lourdeur) !

    .

    Document joint : idm4-1-21-1.jpg
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