Figure sans paroles #4.2.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Hébu il y a 1 mois

    Même scénario général que le 4.2.1. Un triangle $ABC$, ses hauteurs $AG$, $BE$ et $CF$, qui se coupent en $H$. Les points $A, F, H, E$, sont cocycliques, de sorte qu’un cercle (qu’on appellera $(C')$) les lie (les angles en $F$ et $E$ sont droits, $AH$ est un diamètre de ce cercle).

    Le cercle en question va couper $(C)$, le cercle circoncrit au triangle $ABC$, en un point $P$.

    Et $PH$, prolongé, coupe $BC$ en $M$, milieu de $BC$.

    Ou bien encore, $M$ étant le milieu de $BC$, $MH$ coupe le cercle circonscrit en un point $P$ qui se trouve sur le cercle $(C'$).

    .

    Utilisant la seconde formulation, la preuve pourrait se dérouler comme suit : la figure 4.2.1 a permis de montrer que $HM$ prolongé coupait le cercle $(C)$ en un point $D$, tel que $AD$ soit un diamètre de $(C)$.

    Cela implique que $\widehat{APD}$ (ou $\widehat{APH}$) soit un angle droit. Mais alors, $AH$ étant un diamètre de $(C')$, il faut que $P$ soit aussi sur $(C')$.

    Ca paraît trop simple !

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