Figure sans paroles #4.2.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • Hébu il y a 3 mois

    Un triangle $ABC$, son cercle circonscrit $(C)$. Depuis le point $B$, on trace $Bx$, droite symétrique de $BC$ par rapport à $AB$ (c’est à dire $\widehat{ABx}=\widehat{ABC}$), et $Cy$, symétrique de $BC$ par rapport à $AC$ ($\widehat{ACB}=\widehat{ACy}$).

    Les deux droites $Bx$ et $Cy$ se coupent en un point $D$. Le segment $AD$ passe par $O$, le centre du cercle circonscrit à $ABC$.

    Figure qui intrigue : la section 4.2 concerne l’orthocentre, et on ne voit aucune hauteur sur ce dessin !

    .

    Si on considère le triangle $DBC$, les segments $BA$ et $CA$ jouent le rôle de ses bissectrices extérieures.

    Oublions le cercle $(C)$, et considérons le triangle $DBC$. Traçons les bissectrices intérieures des angles $B$ et $C$ : droites $Bu$ et $Cv$. Elles sont évidemment perpendiculaires à $BA$ et $CA$, bissectrices extérieures. D’autre part elles se coupent en un point $F$.

    Il résulte de ceci que $ABF=ACF=\pi/2$. C’est à dire que $A, B, C$ et $F$ sont cocycliques, le cercle en question étant $(C)$, le cercle circonscrit au triangle initial.

    De plus, $AF$ est un diamètre de ce cercle — le centre $O$ du cercle est milieu de $AF$.

    Enfin, $DF$ est la bissectrice intérieure en $D$ du triangle $DBC$ : elle passe par $A$, centre d’un cercle ex-inscrit. Et donc $D, F, O, A$ sont alignés, $F$ étant sur le cercle $(C)$.

    Ce raisonnement fournit la preuve de la propriété suggérée par le dessin. Reste à comprendre le lien avec un << orthocentre >> ; on peut évidemment se raccrocher au résultat obtenu sur la figure 4.2.1), qui présente une autre propriété du point $F$. Une autre approche, plus directe, permet-elle de relier tout ceci avec les hauteurs ? Ceci d’autant que la section 4.3 de l’ouvrage dont les figures proviennent est consacrée aux bissectrices. Peut-être de ce fait toute cette preuve est invalide, parce qu’anticipée (voire illégale...).

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