Figure sans paroles #4.2.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.2.5

    le 19 février à 16:35, par Hébu

    Un triangle $ABC$, son orthocentre $H$, $M$ le milieu de $BC$. on mène en $H$ une perpendiculaire à $MH$, qui vient couper $AB$ en $J$ et $AC$ en $K$.

    Les segments $HJ$ et $HK$ ont même longueur.

    .
    Le dessin proposé est clair et aéré, il va falloir que je le maltraite. Je trace $BF$ et $CD$, les hauteurs. Je note $L$ et $N$ les projetés orthogonaux de $M$ sur $AB$ et $AC$.

    .
    $DCB$, triangle rectangle, $M$ milieu de $BC$ et $ML$ parallèle à $CD$ : $L$ est milieu de $BD$.

    $HL$ est donc la médiane issue du sommet $H$ du triangle rectangle $DHB$.

    De même, $N$ est milieu de $CF$, et $HN$ est la médiane du triangle $FHC$. Ces deux triangles sont semblables (triangles rectangles, les angles en $B$ et $C$ valant $\pi/2-A$). Leurs angles homologues sont égaux : $\widehat{HLD}=\widehat{HNF}$.

    Par complément, $\widehat{HLM}=\widehat{HNM}$ (1).

    .
    Le segment $MJ$ est le diamètre d’un cercle passant par $H$ et $L$ (à cause des angles droits). De même, un cercle de diamètre $MK$ passe par $H$ et $N$. Dans ces cercles, l’égalité des angles inscrits nous assure que $\widehat{HJM}=\widehat{HLM}$, et $\widehat{HKM}=\widehat{HNM}$. Et grâce à (1), $\widehat{HJM}=\widehat{HKM}$.

    $MJK$ est donc un triangle isocèle, et en particulier $HJ=HK$.

    Document joint : idm4-2-5-2.jpg
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