Figure sans paroles #4.3.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.3

    le 5 février à 12:21, par Sidonie

    Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de centre O. I et J sont les pieds des bissectrices intérieure et extérieure en C. Elles sont perpendiculaires donc le centre du cercle circonscrit à CIJ est M milieu de [IJ]. Les 2 cercles se coupent en C et D. Il s’agit de prouver que les 2 cercles sont orthogonaux et donc que (OD) est perpendiculaire à (MD) ce qui revient à (MD) (et donc (MC)) tangente au cercle de centre O

    Je note r le rayon du cercle M.

    I et J, pieds des bissectrices , divisent harmoniquement A et B ce qui peut s’écrire IAxJB = IBxJA et en utilisant M : (MA-r)(MB+r) =(r-MB)(r+MA)

    Après développement et simplification r² =MAxMB

    MAxMB est la puissance de M par rapport au cercle de centre O et r² = MD² ce qui prouve que (MD) est tangente au cercle.

    Document joint : fsp_4.3.3.jpg
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    • 4.3.3

      le 15 février à 16:24, par Hébu

      Jolie application des résultats sur la puissance !

      Pour ma part, j’avais une solution plus rustique, à base de calculs d’angles ; je note $a, b, c$ les mesures des angles du triangle $ABC$ :

      1/ La droite $OM$ qui joint les centres des deux cercles est perpendiculaire à $CD$, l’axe radical des deux circonférences. Et elle est un axe de symétrie, de sorte que $\widehat{MDO}=\widehat{MCO}$.

      2/Les angles $\widehat{MCJ}$ et $\widehat{MJC}$ qont égaux. Dans le triangle $ACJ$, on a $\widehat{MJC}=\pi-a-\widehat{ACJ}$, et donc $\widehat{ACM}=2\times \widehat{ACJ}\pi$.

      Evidemment $\widehat{ACJ}=\pi/2+c/2$, soit $\widehat{ACM}=a+c$, et donc $\widehat{BCM}=a$.

      Ce qui implique que $CM$ soit tangent au cercle, $\widehat{OCM}=\pi/2$.

      Et comme $OCM$ et $ODM$ ont même valeur, le tour est joué

      .
      Au fond, chacune des preuves s’appuis sur la même idée

      Répondre à ce message

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