Figure sans paroles #4.3.5

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.5

    le 14 février à 15:00, par Hébu

    Dans le triangle ABC, on mène les bissectrices $CD$ et $BE$. On joint $DE$, sur
    lequel on pose un point $H$, extérieur au triangle (s’il est à l’intérieur ?).
    Soient $J ,K,L$ les projetés orthogonaux de $H$ sur $BC, AC$ et $AB$.

    Pour simplifier, je note les longueurs de ces segments, $a=HJ$, $b=HK$, $c=HL$.

    Ces longueurs vérifient $c=a+b$.

    .
    Il va falloir compliquer la figure...
    On projette $D$ en $N$ et $M$ sur $BC$ et $AC$, puis $E$ en $Q$ (sur $BC$) et $P$ (sur $AB$.

    Evidemment, $EQ=EP$, $DM=DN$ (propriété des bissectrices).

    .
    Soit $T$ le projeté de $E$ sur $LH$.

    Le segment $LT$ a même longueur que $EP$, on écrira donc $c=EP+TH$.
    Projetons $H$ sur $EQ$ en $S$ : on a $a =EQ-ES=EP-ES$.

    De sorte que $a+b$ s’écrira $EP-ES+F J $, et $c-(a+b)$ devient $THHK$.

    .

    On peut faire le quotient par $EH$ (cela revient à l’introduction de lignes trigonométriques).
    La condition $c=a+b$, ou $c-(a+b)=0$, devient

    \fracTHEH+\fracESEH-\fracHKEH=0

    .
    On remarquera que $TH/EH=EP/ED$ ; que $HK/EH=DM/ED$ ; que $ES/EH=(DN-EQ)/ED$ (tout ceci, à cause des parallèles nombreuses). Et enfin, utilisant les égalités $DM=DN$, $EP=EQ$, on constate l’égalité recherchée.

    .
    Figure un peu chargée, on peut sûrement faire plus simple !

    Document joint : idm4-3-5-2.jpg
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    • 4.3.5

      le 16 février à 17:17, par Hébu

      Je m’aperçois que, encore une fois, des caractères parasites se sont glissés — je ne vois pas comment, la prévisualisation était bonne !

      .
      Donc,

      De sorte que $a+b$ s’écrira $EP-ES+J$, et $c-(a+b)$ devient $TH + ES - HK$.

      La formule ensuite s’écrit
      $\frac{TH}{EH} + \frac{ES}{EH} - \frac{HK}{EH}=0$

      Répondre à ce message

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