Figure sans paroles #4.3.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.9

    le 28 septembre 2018 à 16:42, par Hébu

    Problème avec cette figure ! On comprend mal ce que sont les cordes dont les longueurs seraient $a, b, c$. Mais quelle que soit l’interprétation, je ne vois pas où placer ces longueurs pour trouver $c=a+b$ !

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    • 4.3.9

      le 1er octobre 2018 à 18:14, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Si je ne me trompe pas, c’est le cercle passant par les pieds
      des bissectrices du triangle qui recoupe chacun des côtés
      en un autre point (qui peut être le pied lui-même). En général,
      ce n’est pas le cercle inscrit dans le triangle (qui est tangent
      aux côtés), situation qu’on rencontre dans le cas équilatéral
      uniquement.

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

      Document joint : figure.10.3.9.pdf
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      • 4.3.9

        le 2 octobre 2018 à 12:33, par Hébu

        Oui, effectivement, il ne faut pas se focaliser sur le cercle inscrit. Le dessin 4.3.9 fait apparaître le point de concours des bissectrices, ainsi qu’un cercle qui semble, à vue d’oeil, avoir ce point comme centre. Et je suis tombé dans le piège...

        .

        Je corrige ma figure, et je me penche à nouveau sur cette énigme.

        .

        Merci pour m’avoir ouvert les yeux !

        Cordialement !

        GH

        Répondre à ce message
        • 4.3.9

          le 13 février à 17:09, par Sidonie

          Un triangle ABC. Pour faciliter les calculs a = BC, b = AC et c = AB. (AD), (BE) et (CF) sont les bissectrices intérieures de ABC. d = BD, e = CE et f=AF. Le cercle passant par D, E et F recoupent les côtés en G, H et I : DG = x, EH = y et FI =z. Il s’agit donc de démontrer que x + z = y.
          Grace aux pieds des bissectrice on a CD = a-d = $\frac {bd}{c}$, AE = b-e = $\frac {ec}{a}$ et BF = c-f = $\frac {fa}{b}$

          Les puissances de A, B et C par rapport au cercles écrivent 3 égalités :

          $ f^2-fz = (\frac {ec}{a})^2- \frac{ec}{a}.y$ (1)
          $(\frac{fa}{b})^2-\frac{fa}{b}.z = d^2-dx$ (2)
          $(\frac{bd}{c})^2+\frac{bd}{c}.x = e^2-ey$ (3)

          en isolant x, y et z dans le premier membre et en chassant les dénominateurs il vient :

          af²z - aecy = (af)²-(ce)²
          bafz + b²dx = (bd)² - (af)²
          bcdx - c²ey = (ce)² - (bd)²

          En ajoutant les 3 égalités membre à membre et en regroupant les termes en x, y et z il vient :
          af(a+b)z - ce(a+c)y + bd(b+c)z = 0

          Et les 3 coefficients sont égaux à abc. Il suffit d’en calculer un les autres s’obtiennent par permutations autour du triangle.

          Il suffit donc de démontrer que f(a+b) = bc ou avec les notations en point : AF(BC+AC)=AB.AC

          AF(BC+AC) = AF.BC+ AF.AC = BF.AC + AF.AC =(BF+AF)AC = AB.AC

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    • 4.3.9

      le 1er octobre 2018 à 18:18, par Aziz El Kacimi

      Suite : cas isocèle !

      Document joint : figure.10.3.9v1.pdf
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    • 4.3.9

      le 1er octobre 2018 à 18:20, par Aziz El Kacimi

      Suite : cas équilatéral !

      Document joint : equilateral.pdf
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