Figure sans paroles #4.3.12

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.12

    le 22 mars à 15:36, par Hébu

    On se donne un triangle $ABC$. Depuis $B$ et $C$ on trace les bissectrices, intérieures et extérieures. Depuis $A$ on abaisse une perpendiculaire sur chacune de ces droites, les intersections étant les points $J, K, L, M$.

    Les points $J, K, L, M$ sont alignés.

    .
    Considérons le segment $AB$. Les bissectrices $BJ$ et $BL$ issues de $B$ sont orthogonales. Il en résulte que le quadrilatère $AJBL$, ayant ses quatre angles droits, est un rectangle. On a donc $\widehat{AJL}=\widehat{JLB}=\widehat{ABL}=\widehat{B}/2$, etc.

    Cela implique que $JL$ et $BC$ sont parallèles (angles << alternes-internes >> égaux).

    De la même façon on montre que $KM$ et $BC$ sont parallèles (considérant $AKCM$, rectangle lui aussi).
    Mais cela ne dit pas que $KM$ et $JL$ sont confondues.

    .
    Considérons la bissectrice intérieure de l’angle en $A$, $AD$. Soit $N$ le point d’intersection des bissectrices intérieures. Les points $A, K, L$ et $N$ sont cocycliques, de sorte que $\widehat{KAD}=\widehat{KLB}$.

    L’angle $\widehat{KAD}$ est complémentaire de $\widehat{ANK}=\widehat{CND}$. L’angle $\widehat{ADC}=\pi-\widehat{C}-\widehat{A}/2$, et $\widehat{CND}=\pi-\widehat{C}/2-\widehat{ADC}$.
    On aboutit à $\widehat{CND}=(A+C)/2$, soit $\widehat{KAD}=\pi/2-(\widehat{A}+\widehat{C})/2=\widehat{B}/2$.

    Cela montre que les droites $KL$ et $BC$ sont parallèles (angles alternes internes égaux). Et donc $JL$ et $KM$ sont confondus.

    Document joint : idm4-3-12.jpg
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    • 4.3.12

      le 4 mai à 17:18, par Sidonie

      Un raccourci est possible. Les diagonales des rectangles se coupent en leurs milieux qui sont aussi les milieux de 2 côtés du triangle et donc parallèle à (BC).

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  • 4.3.12

    le 5 mai à 15:40, par Hébu

    Très juste ! Cette remarque supprime la moitié du développement (et évite la manipulation des angles, toujours lourde).

    Bravo !

    Répondre à ce message

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