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Figure sans paroles #4.3.13

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.13

    le 18 mai 2020 à 18:10, par Hébu

    Un triangle $ABC$, $H$ son orthocentre, $K$ et $J$ les projetés orthogonaux de $H$ sur la bissectrice intérieure (point $K$) et extérieure ($J$) en $A$.

    La droite $(KJ)$ coupe $BC$ en $M$, son milieu.

    .
    On va appeler $D, E, F$ les pieds des hauteurs issues de $A, B, C$.

    .
    On retrouve une connaissance, le cercle de diamètre $AH$ (cf. les figures 4.1.2, 4.2.2, et d’autres dans le futur). Il passe évidemment par $K$ et $J$. Et $AJHK$ est un rectangle, dont les diagonales se coupent en leur milieu, le point $G$, centre de ce cercle.

    $GK$ et $EF$ sont orthogonaux :
    Puisque $AK$ est bissectrice de l’angle en $A$, les arcs $FK$ et $KE$ sont égaux : le point $K$ est sur la médiatrice de $EF$ : $JK$ est cette médiatrice.

    .
    Et le point $M$, centre d’un cercle qui passe par $B, C, E, F$, est à égale distance de $E$ et $F$, il est donc sur $JK$. \qed

    Document joint : idm4-3-13.jpg
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