Figure sans paroles #4.3.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.14

    le 20 mai à 09:25, par Hébu

    Dans un triangle $ABC$, on trace une droite passant par $A$. Elle coupe en un point $J$ le cercle circonscrit $c$ au triangle.

    Soit $BD$ la bissectrice issue de $B$. Elle coupe $AJ$ en un point $F$. Le cercle $c'$ passant par $B$ et tangent en $F$ à $AJ$ coupe $BC$ en $K$, et le cercle circonscrit en $H$.

    Les points $H, K, J$ sont alignés.

    .
    Je note $\omega$ l’angle $\widehat{BAJ}$. La preuve va consister à vérifier que les angles $\widehat{BHJ}$ et $\widehat{BHK}$ sont égaux.

    Dans le cercle $c$, $BHJ=\omega$ ($J$ est le point de concours de $AF$ avec $c$).

    Dans $c'$, $K$ étant le point de concours de $c'$ et $BC$, $\widehat{KHF}=\widehat{KBF}=b/2$. Le triangle $AFB$ permet d’estimer l’angle $\widehat{BFJ}=\omega+b/2$. Et puisque $AF$ est tangent au cercle, $\widehat{BHF}=\widehat{BFJ}$

    On obtient $\widehat{BHK}$ comme différence entre $\widehat{BHF}$ et $\widehat{KHF}$. On obtient $\widehat{BHK}=\omega$.

    Document joint : idm4-3-14.jpg
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    • 4.3.14

      le 25 mai à 00:22, par Sidonie

      La figure proposée ne dit pas que le cercle est tangent à (AF). C’est pourquoi je commence par démontrer que si J,K,H sont alignés alors (AF) est tangent au cercle et donc que si (AF) n’est pas tangent alors J,K,H ne sont pas alignés.
      (BF) recoupe le cercle circonscrit en E.
      (KF,KH) = (BF,BH) = (BE,BH) =(JE,JH) donc (FK)//(EJ)
      (FK,FJ) = (JE,JF) = (BE,BA) = (BK,BF)
      Supposons que (AF) n’est pas tangent alors (AF) recoupe le cercle en X,
      mais alors (BK,BX) = (FK,FX) = (FK,FJ) = (BK,BF) et alors B,X,F sont alignés ce qui est impossible.
      On peut donc poser la tangence comme hypothèse.
      (FK,FJ) = (BK,BF) = (BE,BA) = (JE,JA) donc (FK)//(EJ)
      (HB,HK) = (FB,FK) = (EB,EJ) = (HB,HJ) donc (HK)//(HJ) et J,K,H sont alignés

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  • 4.3.14

    le 25 mai à 18:47, par Hébu

    En abordant cette figure, je ne me suis pas demandé « tangente or not tangente ? » — pour la raison idiote que c’était la seule façon que je voyais de donner un sens à la figure...

    Belle preuve donc, qui a le mérite de présenter la chose comme une cns. Et la façon d’avancer l’argumentation est très astucieuse !

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