Figure sans paroles #4.3.15

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.15

    le 15 février à 18:55, par Hébu

    Soit un cercle, $(c_1)$ une sécante $AB$ sur laquelle un point $D$ est posé. Une autre sécante, issue de $A$ coupe le cercle en $C$. On porte sur celle-ci une longueur $CE=DB$.

    Un second cercle, $(c_2)$ passe par $A, D$ et $E$. Il coupe le premier en un point $F$.

    La droite $AF$ est la bissectrice de l’angle $\widehat{BAE}$

    .

    Considérons les deux triangles $FCE$ et $FBD$ : ils sont égaux.

    En effet, le quadrilatère $AEFD$, inscrit dans le cercle $(c_2)$ a ses angles opposés en $D$ et $E$ supplémentaires, de sorte que $\widehat{AEF}$ et $\widehat{BDF}$ sont égaux.

    De même, $ACFB$, inscrit dans $(c_1)$, permet d’affirmer que $\widehat{FBC}$ et $\widehat{FCE}$ sont égaux.

    Et puisque les segments $BD$ et $CE$ sont de même longueur, on a bien l’égalité.

    De sorte que les segments $EF$ et $FD$ ont même longueur. Ce sont les cordes qui sous-tendentdes arcs égaux, et donc $\widehat{FAE}=\widehat{FAB}$

    Document joint : idm4-3-15.jpg
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