Figure sans paroles #4.3.20

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.20

    le 19 août à 23:05, par Sidonie

    I est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC. D $\in$ (CI) et E $\in$ (BI) sont tels que (AB,AB) = (AC,AE) (angles orientés de droites) . H = (BD) $\cap$ (CE).
    Il s’agit de prouver l’alignement H,A et I
    J = (AI) $\cap$ (BC) ; K = (DE) $\cap$ (AI) ; F = (AD) $\cap$ (BC) ; G = (AE) $\cap$ (BC) ; la bissectrice extérieure en A coupe (BC) en L.
    Les pieds des bissectrices intérieure et extérieure coupe harmoniquement le côté opposé donc L,J et B,C sont en division harmonique de même L,J divise harmoniquement F,G.
    Ce qui fait de (AL), (AJ),(AF) et (AG) un faisceau harmonique de même de (IL),(IJ),(IB) et (IC).
    Soit X le point qui divise harmoniquement avec K D et E .
    D,E et K sont sur le premier faisceau donc X $\in$ (AL) , ils appartiennent au second donc X $\in$ (IL) et donc X = L.
    Dans le quadrilatère BCED complété par H et L les diagonales (AL) et (AI) forment un faisceau harmonique avec les côtés (AB) et (AC) et comme L,B et C sont sur 3 des droites alors J $\in$ (HI).
    L’alignement naturel A,I,J et le démontré H,I,J prouve l’alignement H,A,I

    Document joint : fsp_4.3.20.jpg
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