Figure sans paroles #4.3.21

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.21

    le 20 mai à 18:28, par Hébu

    Un triangle $ABC$, ses bissectrices intérieures en $B$ et $C$, $BD$ et $CE$, se coupent au point $F$.

    Depuis $D$ et $E$, on trace deux droites symétriques des côtés correspondants par rapport à la bissectrice. C’est à dire depuis $E$ une droite $EG$ telle que $\widehat{CEG}=\widehat{CEA}$, et depuis $D$ une droite $DH$ telle que $\widehat{BDH}=\widehat{BDA}$. Les deux droites se coupent en un point $J$.

    La droite joignant $J$ à $F$ est perpendiculaire à $BC$.

    .
    Les triangles $CEG$ et $CEA$ sont égaux (un côté commun entre deux angles égaux). Donc $\widehat{JGH}=a$ Et aussi $EG=EA$.

    Même remarque pour $BDA$ et $BDH$, d’où on déduit $\widehat{JHG}=a$, et aussi $DA=DH$.

    Le triangle $JGH$, dont les angles en $G$ et $H$ ont même valeur, est isocèle.

    Les triangles $EFG$ et $EFA$ ont deux côtés et un angle égaux, et donc $\widehat{EGF}=\widehat{EAF}=a/2$. D’où $\widehat{FGC}=a/2$ : $GF$ est la bissectrice de l’angle en $G$.

    De la même façon on constate l’égalité des triangles $FDA$ et $FDH$, d’où à nouveau $HF$ est bissectrice de l’angle $\widehat{JHG}$.

    $JF$ est la troisième bissectrice du triangle $JHG$, c’est également une hauteur puisqu’il est isocèle.

    Document joint : idm4-3-21.jpg
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