Figure sans paroles #4.4.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.4.1

    le 31 mars à 00:31, par Sidonie

    $[AM]$ est la médiane d’un triangle $ABC$, les tangentes en $B$ et $C$ au cercle circonscrit sont sécantes en $T$. Il s’agit de démontrer $\widehat {BAT} = \widehat {MAC}$.
    Le cercle de centre $T$ passant par $B$ et $C$ coupe $[AB]$ et $[AC]$ en $D$ et $E$.

    $(BT)$ et $(CT)$ étant tangentes au cercle $(ABC)$ on a $\widehat {A} = \widehat {CBT}$ et $\widehat {BTC} = \pi - 2\widehat {A}$ (1)
    $\widehat {TBD} = \pi - \widehat {B} - \widehat{A} = \widehat {C}$ et $\widehat {BTD} = \pi - 2\widehat {C}$ (2)
    On aura de même $\widehat {ETC} = \pi - 2\widehat {B}$ (3)

    En additionnant (1),(2) et (3) il vient $\widehat {DTE} = 3\pi - 2(\widehat {A} +\widehat {B} + \widehat {C}) = 3\pi - 2\pi = \pi$
    et $T$ devient le milieu de $[DE]$.

    La puissance de $A$ par rapport au cercle $(BCD)$ donne $AB.AD = AC.AE$ ou $\frac {AB} {AE} = \frac {AC} {AD}$
    Les triangles $ABC$ et $AED$ sont alors semblables et leurs médianes $[AM]$ et $[AT]$ font un même angle avec les 2 côtés correspondants $[AC]$ et $[AD]$.

    Remarque : cette figure démontre un résultat bien connu que j’ai évité d’évoquer : les sommets d’un triangle sont reliés aux sommets du triangle tangentiel par les symédianes. Ici $T$ est le sommet du triangle tangentiel opposé à $A$ et donc $(AT)$ est la symédiane symétrique de la médiane $(AM)$ par rapport à la bissectrice.

    Document joint : fsp_4.4.1.jpg
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