Figure sans paroles #4.4.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.4.3

    le 31 mars 2020 à 13:13, par Sidonie

    T est le point de rencontre des tangentes en B et C au cercle circonscrit à ABC. (AT) coupe le cercle en D. E,F et G sont les projetés orthogonaux de D sur (AB),(BC),(CA). Il faut prouver l’alignement de E,F et G.

    En fait le point T ne sert à rien. Cette propriété serait vraie pour n’importe quel point D du cercle.

    B,D,F,E d’une part et C,F,D,G d’autre part sont cocyclique à cause des angles droits.

    J’utilise les angles orientés de droites.

    Dans le cercle (DFC) on a (FD,FG) = (CD,CG) = (CD,CA)
    Dans le cercle (ABC) on a (CD,CA) = (BD,BA) = (BD,BE)
    Dans le cercle (BDE) on a (BD,BE) = (FD,FE)

    (FD,FE) = (FD,FG) implique l’alignement cherché.

    Remarque : dans le 5.1.9 il est prouvé que 4 points étant cocycliques les symétriques de l’un d’eux par rapport aux côtés du triangle formé par les 3 autres sont alignés avec l’orthocentre. L’homothétie de centre D et de rapport 0,5 donne le même résultat.

    Document joint : fsp_4.4.3.jpg
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    • 4.4.3

      le 14 août 2020 à 13:09, par Hébu

      je ne sais pas si j’ai posté correctement mon commentaire...

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  • 4.4.3

    le 13 août 2020 à 17:44, par Hébu

    Mais, si je ne me trompe pas, le challenge est double ? Les points sont alignés, et F est le milieu de EG.

    Je propose une solution, qui prouve que je me suis penché consciencieusement sur les symédianes.
    .

    Tout d’abord, l’alignement de E, F et G ne nous surprendra pas : on a construit une droite de Simson, puisque D est sur le cercle circonscrit, comme sur la figure 3.11. Reste à justifier F comme point milieu.

    La figure 4.4.1 permet de voir AT comme la symédiane issue de A.

    .
    Je note v la valeur de l’angle DAB (et a, b, c les angles aux sommets).

    Depuis E je mène une parallèle à la tangente en A au cercle circonscrit de ABC ; H est l’intersection de cette parallèle avec AC. On évalue facilement HEA=c, EHA=b. Les triangles AHE et ABC sont semblables, de sorte que, puisque AD est la symédiane, alors J, intersection de HE avec AD est milieu de HE.

    .

    Les points A, G, D, E, H sont cocycliques (angles droits en G, E) et donc DEG=DAG=a-v.

    Les points B, F, D, E sont cocycliques (angles droits en E,F). D’où FDE=b, et donc DFE=180-b-(a-v)=c+v.

    .
    Dans le triangle AJE, on a AJE=180-(c+v), soit EJD=c+v.
    Le point J est donc sur la circonférence (B,F,D,E) et EJF=EBF=180-b.

    Cela signifie que (JF) et (AC) sont parallèles, de sorte que puisque J est milieu de HE alors F est milieu de GE.

    Remarque : cela implique aussi AJB=90°. Est-ce que ça aurait pu se deviner ?

    Solution bien laborieuse, malgré les raccourcis que je me suis permis !

    Document joint : idm4-4-3.jpg
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    • 4.4.3

      le 18 août 2020 à 22:56, par Sidonie

      Vous avez bien raison, je suis passée à côté du plus important. Je vous remercie de votre soigneuse relecture. Voici une démonstration sans calculs, calculs que je n’aime guère sans doute par paresse.
      Sur ma figure j’ajoute I milieu de [BC].
      (DA) étant symédiane et (DI) médiane on a :
      (DB,DI) = (DA,DC) = (BA,BC) = (BE,BF) = (DE,DF) et en en enlevant (DE,DI) au premier et dernier terme il vient ((DB,DE) = (DI,DF) .
      On a aussi (DB,DE) = (FB,FE) = (FC,FG) =(DC,DG).
      Et pour finir avec les angles (BD,BC) = (ED,EG) et ((CB,CD) = (GE,GD) prouvant la similitude des triangles DBC et DEG.
      Cette similitude se décompose en une rotation de centre D et d’angle (DB,DE) qui va aligner D,E et B’, D,G et C’ et D,F et I’ puis une homothétie qui ramène B’ en E, C’ en G et I’ en F. La rotation et l’homothétie conservant les milieux, la messe est dite.

      Document joint : fsp_4.4.3._complete.jpg
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      • 4.4.3

        le 19 août 2020 à 12:55, par Hébu

        Ah, ces angles de droites ! Ca me donne bien du souci, je vais lire cette preuve comme un entrainement...

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