Figure sans paroles #4.4.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.4.3

    le 31 mars à 13:13, par Sidonie

    T est le point de rencontre des tangentes en B et C au cercle circonscrit à ABC. (AT) coupe le cercle en D. E,F et G sont les projetés orthogonaux de D sur (AB),(BC),(CA). Il faut prouver l’alignement de E,F et G.

    En fait le point T ne sert à rien. Cette propriété serait vraie pour n’importe quel point D du cercle.

    B,D,F,E d’une part et C,F,D,G d’autre part sont cocyclique à cause des angles droits.

    J’utilise les angles orientés de droites.

    Dans le cercle (DFC) on a (FD,FG) = (CD,CG) = (CD,CA)
    Dans le cercle (ABC) on a (CD,CA) = (BD,BA) = (BD,BE)
    Dans le cercle (BDE) on a (BD,BE) = (FD,FE)

    (FD,FE) = (FD,FG) implique l’alignement cherché.

    Remarque : dans le 5.1.9 il est prouvé que 4 points étant cocycliques les symétriques de l’un d’eux par rapport aux côtés du triangle formé par les 3 autres sont alignés avec l’orthocentre. L’homothétie de centre D et de rapport 0,5 donne le même résultat.

    Document joint : fsp_4.4.3.jpg
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