Figure sans paroles #4.4.4

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.4.4

    le 31 mars 2020 à 15:59, par Sidonie

    T est le point d’intersection entre les tangentes en B et C au cercle circonscrit à ABC. (AT) coupe le cercle en D. La symétrique de (AT) par rapport à la bissectrice issue de A coupe [BC] en M. Il faut démontrer $\widehat {BDM} = \widehat {ADC}$.

    T est un sommet du triangle tangentiel de ABC mais aussi de BDC donc (AT) est une symédiane de chacun des triangles.

    Dans ABC sa symétrique est la médiane donc M est le milieu de [BC] mais alors [DM] est la médiane de BDC et elle est symétrique de (AT) par rapport à la bissectrice issue de D.

    Document joint : fsp_4.4.4.jpg
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    • 4.4.4

      le 18 août 2020 à 14:21, par Hébu

      Je suis embêté par cette figure. J’y ajoute F, point d’intersection de la bissectrice en A avec BC. Je l’ai observée, mais j’en conclus qu’il faut alors montrer $\widehat{BDF}=\widehat{CDF}$, c’est à dire que DF est bissectrice de $\widehat{BDC}$.

      Votre démonstration compare $\widehat{BDM}$ et $\widehat{ADC}$.
      Cela me semble ne pas suffire à garantir la coincidence des bissectrices.

      Ou plutôt, j’ai l’impression qu’in faut prouver cette coincidence.
      Puisque (AT) est la symédiane de chacun des triangles, on peut placer le point $M$, milieu de $BC$. Nos deux triangles, $ABC$ et $DBC$, ont en commun le point $M$, le point $E$ (intersection de $AT$ et $BC$). Il faut montrer que les deux bissectrices concourent au même point $F$.

      .

      Une preuve purement géométrique serait bienvenue — mais je n’en ai pas trouvé. Alors, un calcul ?
      .

      La « loi des sinus » permet d’écrire que le quotient des longueurs de deux côtés égale celui des sinus des sommets opposés.

      Dans $ABC$, elle nous apprend que $AB/AC=\sin{c}/\sin{b}$. Dans $DBC$, on a $DB/DC=\sin{(a-v)}/\sin{v}$. Je note $v$ la valeur de l’angle $\widehat{CAD}$.

      Si on regarde les deux triangles $MAB$ et $MAC$, on remarque que les sinus de $\widehat{AMB}$ et $\widehat[AMC}$ sont égaux, que $BM=BC$, et on en tire $AB/AC=\sin{(a-v)}/\sin{v}$.

      Autrement dit, $AB/AC=DB/BC$. Si j’appelle $F'$ le pied de la bissectrice de $\widehat{BDC}$, j’ai donc $AB/AC=DB/BC= FB/FC=F'B/F'C$, ce qui montre que $F$ et $F'$ sont confondus.

      .
      L’égalité $AB/AC=DB/BC$ a une autre conséquence amusante, en l’écrivant $AB/DB=AC/DC$. Si je considère les triangles $DAB$ et $DAC$, leurs bissectrices se coupent au point $P$ qui est situé sur $AD$.

      Document joint : idm4-4-4.jpg
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      • 4.4.4

        le 18 août 2020 à 20:41, par Sidonie

        J’ai beau regardé la figure, je ne vois aucune bissectrice. Il y a en effet un trait de trop qui y fait penser mais comme le point en face est le milieu, sauf avoir un isocèle, difficile d’y voir le pied d’une bissectrice. Ceci- dit, dans le 4.4.5 je donne une démonstration géométrique de la concordance. (MC) étant une bissectrice de MAD les deux autres bissectrices sont concourantes avec elle.

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        • 4.4.4

          le 19 août 2020 à 12:52, par Hébu

          Il y a une marque d’angles égaux (deux arcs de cercle) au point A, de sorte que le segment AM de votre dessin me semble ne pas être la médiane, mais la bissectrice de A. Et c’est précisément dans le fait qu’en ce point les deux bissectrices concourent qui constitue le sel de cette énigme.

          .
          Dans la figure 4.4.5, on a bien affaire avec la médiane, le point M est le milieu de BC (les marques sur les segments).

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          • 4.4.4

            le 19 août 2020 à 19:01, par Sidonie

            Je vous présente mes excuses. En lorgnant de très près j’ai enfin vu les deux traits. Mais à l’occasion du 4.4.5 je démontre que MC est la bissectrice de (MA,MD) qui est un sommet du triangle MAD. Les deux autres bissectrices de MAD sont donc concourante avec elles mais elles sont aussi les bissectrices du 4.4.4 . à cause des égalités d’angles démontrées avant.

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